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Concepto
Cuando la tasa de cambio de la cantidad de una sustancia o población es proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, decimos que esta sustancia o población está experimentando ya sea crecimiento o decrecimiento, dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad. ¿Sabes cómo escribir una ecuación diferencial que exprese esta condición? Este tipo de crecimiento o decrecimiento, común en la naturaleza y en los negocios, se conoce como crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial y está caracterizado por cambios rápidos.
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7.5 Crecimiento y decrecimiento exponencial
Difficulty Level: At Grade | Created by: CK-12
Last Modified: Nov 10, 2015
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Objetivos
En esta sección aprenderás a reconocer una forma de ecuación diferencial y su solución que expresa condiciones de crecimiento y decrecimiento exponencial.
Concepto
Cuando la tasa de cambio de la cantidad de una sustancia o población es proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, decimos que esta sustancia o población está experimentando ya sea crecimiento o decrecimiento, dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad. ¿Sabes cómo escribir una ecuación diferencial que exprese esta condición? Este tipo de crecimiento o decrecimiento, común en la naturaleza y en los negocios, se conoce como crecimiento exponencial o decrecimiento exponencial y está caracterizado por cambios rápidos.
Orientación
En esta sección veremos la formulación de crecimiento y decrecimiento exponencial, y algunas aplicaciones modeladas por crecimiento o decrecimiento exponencial.
El concepto de crecimiento o decrecimiento exponencial surge como la solución al problema de que la tasa de cambio de una cantidad,
y(t)
, con respecto al tiempo,
t
, varía directamente con la cantidad. La formulación matemática de esta ecuación diferencial y su solución general se pueden resumir como sigue:
Crecimiento o decrecimiento exponencial simple
Dada la ecuación diferencial:
dydt=ky
, donde
k
es una constante
Entonces:
y=Cekt
es una solución a la ecuación diferencial con
y=C
y
t=0
.
Si
k>0
0" /> 0" /> : La función
y
representa crecimiento exponencial (valores crecientes).
Si
k<0
< 0" />< 0" /> : La función
y
representa decrecimiento exponencial (valores decrecientes).
Nótese: La formulación anterior para
y
está expresada con base
b=e
. La formulación general sería
y=Cbktlnb
, donde
b
es cualquier base tal que
b>0
0" /> 0" /> y
b≠1
.
La afirmación anterior viene de la solución a la ecuación diferencial:
dydt=ky
Separando variables,
dyy=kdt
e integrando ambos lados,
∫dyy=∫kdt
,
nos da
lnyy=kt+C=ekt+C=ekteC=Cekt ⋯The general constant C is used as a replacement for eC.