Question

Determinar un polinomio de cuarto grado P(X),tal que P(X) =P(-X); ademas P(1)=0; y al dividir P(-X) por X da resto 2

Answer 1

1) P(x) = P(-x), entonces el polinomio P es par, es decir

                          $P(x) = ax^4+bx^2+c$
donde $a, b\text { y }c$ son número reales

2) P(1) = 0
                                    $a+b+c=0$

3) P(-x) / x = P(x) / x da resto 2

                 $\dfrac{P(x)}{x}=ax^3+bx+\dfrac{c}{x}$

entonces $c=2$

4) de (2) y (3) se deduce $b = -(a+2)$ por ende el polinomio es

                            $P(x)=ax^4-(a+2)x^2+2$

donde $a\neq 0$