Question

Para que la ecuación tenga raíces reales distintas:
-2x²+4x=k

k debe valer:

Answer 1

Ya, verás....primero recordemos la ecuación general 

$x_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}$

con ésta fórmula podemos encontrar las raíces de cualquier polinomio de grado dos verdad?...entonces

Estás de acuerdo que la razón por la que existen dos raíces es porque esa raíz llamada "discriminante" tiene un "mas menos" adelante...por eso es que las respuestas de esa ecuación son

$x_{1} = \frac{-b+ \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ \\ x_{2} =\frac{-b- \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a}$

son éstas, una con un signo positivo y la otra con signo negativo verdad?...entonces que pasa si hacemos que la raíz se haga cero?..nos quedará esto

$x_{1} = \frac{-b+0}{2a} \\ x_{1} = \frac{-b}{2a} \\ \\ x_{2} = \frac{-b-0}{2a} \\ x_{2} = \frac{-b}{2a} \\ \\ x_{1} = x_{2}$

Entonces que podemos concluir de todo ésto?..
Si hacemos que la raíz sea igual a cero entonce las raíces del polinomio van a ser la mismas...Ahora estás de acuerdo que, lo que está dentro de la raíz TIENE que ser mayor o igual cero, SIEMPRE??...si verdad?..lo que está dentro de la raíz puede ser cero....pero también puede ser mayor que cero..lo que nunca va a pasar es que SEA MENOR QUE CERO...cierto?...porque no hay raíces de número negativos....el problema nos pide que sean las raíces distintas...
y por todo ésto que hemos hecho, eso significa que la raíz no puede ser cero...pero si es mayor que cero...ya listo¡¡..con éste análisis podemos resolver el problema....

Entonces 
a la ecuación vamos a multiplicarle todo por menos 1...y nos quedaría así

$2 x^{2} -4x+k=0$
Donde a=2 ; b=-4 ; c=k

reemplacemos en la fórmula general

$x_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ x_{1,2} = \frac{-(-4)(+-) \sqrt{ (-4)^{2}-4(2)(k) } }{2(2)} \\ \\ x_{1,2} = \frac{-(-4)(+-) \sqrt{ (16-8k) } }{4}$

Ahora esa raíz es siempre mayor o igual a cero...pero lo que nos interesa es que esa raíz NO QUIERO que sea cero...entonces lo que está dentro la raíz tiene que ser mayor que cero....así

$16-8k\ \textgreater \ 0 \\ -8k\ \textgreater \ -16 \\ 8k\ \textless \ 16 \\ k\ \textless \ 2$

Entonces eso significa que k, primero NO PUEDE SER "2", y segundo k es menor que 2...

Comprobemos:
Supongamos que k=2

$2 x^{2} -4x+k=0 \\ 2 x^{2} -4x+2=0$
donde a=2; b=-4; c=2

$x_{1,2} = \frac{-b(+-) \sqrt{ b^{2}-4ac } }{2a} \\ x_{1,2} = \frac{-(-4)(+-) \sqrt{ (-4)^{2}-4(2)(2) } }{2(2)} \\ x_{1,2} = \frac{4(+-) \sqrt{16-16} }{4}$

Mira que la raíz se nos hizo cero...por lo tanto las raíces van a ser iguales..si factoramos e nos evitamos usar la fórmula

$2 x^{2} -4x+2=0$
dividamos todo para dos
$x^{2} -2x+1=0 \\ (x-1)(x-1)=0 \\ x=1$
Efectivamente nos salió dos raíces igualitas...

Eso pasa si usamos el k=2...
Está claro lo que pasa si escogemos un k mayor que 2??...el discriminante va a ser negativo y por lo tanto ese polinomio tendrá raices imaginarias..

por lo tanto k tiene que se menor que 2

podemos resumir todo ésto

$si:k \ \textless \ 2;Raices _{Reales } \\ \\ si:k=2;Raices _{Iguales} \\ \\ si:k\ \textgreater \ 2;Raices _{Imaginarias}$

Y eso sería todo