Question

1.-El valor catastral de una casa con 20 años de uso es $90,000, hace 10 años el valor catastral era
de 120,000. Se deprecia linealmente con el tiempo.
a). Encontrar la ecuación para determinar el valor de venta de la casa a los t años. La ecuación es
de la forma y=mx+b.
b). Determinar el valor de la casa cuando era nueva.
c). ¿Cuánto varía el valor catastral cada año?
d). ¿Cual es el valor catastral de la casa después de 30 años?
e). ¿Después de cuantos años el valor catastral de la casa es cero?

Answer 1

      PROGRESIONES  ARITMÉTICAS (P.A.)

                                       Ejercicio de aplicación

Estamos ante una progresión aritmética que es una sucesión de números            ---llamados "términos" de la P.A.---   relacionados entre sí porque cada término se obtiene de sumar (o restar) al anterior una cantidad fija llamada diferencia representada por la letra "d".

Y digo que es aritmética porque nos dice que se deprecia linealmente.

Eso significa que pierde el mismo valor cada año transcurrido.

Y los datos que nos da el ejercicio son:

• Valor del término nº 20, representado como  a₂₀  que es  90000
• Valor del término nº 10, representado como   a₁₀  que es  120000

Con esos datos hay que recurrir a la fórmula general para este tipo de progresiones que dice:

                                        aₙ = a₁ + (n-1) × d

Siendo "n" el nº de orden de cualquier término de la progresión y que para nuestro ejercicio es el número de años transcurridos.

Para llegar a la ecuación del apartado a), valor de venta de la casa a los "t" años, esa letra "t" es la que yo he escrito como "n" en la fórmula anterior, es decir, conseguir una fórmula que sustituyendo "n" por el nº de años en que queramos saber el valor de la casa, nos dé dicho valor.

Teniendo el término nº 10 y el nº 20,  vamos a usar otra fórmula de las P.A. que habla de la interpolación de términos, es decir, tenemos que interpolar  (intercalar)  los términos que están en ese intervalo desde el 10 al 20 que son desde el nº 11 hasta el nº 19, o sea un total de 9 términos.

Ese dato lo llamaré "m" para la fórmula que voy a usar así que tendré esto:

• m = 9
• a = a₁₀ = 120000
• b = a₂₀ = 90000

Con esos datos usaré la fórmula que me dará el valor de la diferencia "d" entre términos consecutivos, o sea, el valor que la casa se deprecia cada año transcurrido que ya hemos dicho que siempre es el mismo.

                      La fórmula dice:     $d=\dfrac{b-a}{m+1}$                  

La aplico al ejercicio sustituyendo datos:

$d=\dfrac{b-a}{m+1} =\dfrac{90000-120000}{9+1} =\dfrac{-30000}{10}=-3000$

Así ya sé que la diferencia entre términos consecutivos que es el valor que pierde cada año es de  $3.000

Con ese dato y el valor de uno de los términos, por ejemplo,  a₁₀ = 120000, usaré la fórmula inicial   aₙ = a₁ + (n-1) × d    para calcular el valor del primer término que es el valor de la casa cuando era nueva.

Los datos a usar son:

• aₙ  =  a₁₀  =  120000
• d  =  -3000
• n  =  10

Y sustituyo en la fórmula:

120000 = a₁ + (10-1) × -3000  ... y despejo  a₁ ...

120000 = a₁ - 27000

120000 + 27000 = a₁ =  147000

b)  

147.000 era el valor de la casa cuando era nueva.

Sabiendo el valor de a₁ y usando de nuevo la misma fórmula general pero sin sustituir "n", se llega a la ecuación del apartado a)

aₙ = 147000 + (n-1) × -3000

aₙ = 147000 -3000n +3000

aₙ = 150000 -3000n

Para pasarla a la forma   y=mx+b   se invierten los términos y tendremos:

a)

aₙ = -3000n + 150000  es la ecuación pedida

Donde:

• aₙ = y
• -3000 = m
• n = x
• 150000 = b

c)  

Este apartado ya lo hemos resuelto al calcular la diferencia "d" que era de  $3.000  de valor que va perdiendo cada año.

d)

Con la ecuación o fórmula específica de esta PA calculada, saber el valor que tendrá la casa transcurrido un número determinado de años es tan sencillo como sustituir ese número donde tengamos "n" así para cuando pasen 30 años haremos esto:

aₙ = -3000×30 + 150000 = -90000 + 150000 = 60000

La casa tendrá un valor de 60.000 a los 30 años.

e)

Para saber cuándo el valor de la casa será cero, lo que se desconoce es el nº de años "n" que han de pasar pero sí conocemos  el valor del último término de la PA que es  aₙ = 0  así que de nuevo se recurre a la ecuación calculada dejando en este caso a "n" como dato desconocido y despejarlo de esa ecuación:

0 = -3000n + 150000

-150000 = -3000n

n = -150000 / -3000 = 50

A los 50 años el valor de la casa será cero