1.) Un bloque de 5 kg se encuentra inicialmente en reposo en la parte superior de un plano inclinado de 10 m de longitud, que presenta un coeficiente de rozamiento μ = 0,2 Calcule su velocidad al llegar al suelo suponiendo que el ángulo de inclinación del plano es de 30o.
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Respuestas
Respuesta:
Se suele proponer el siguiente problema a los estudiantes como ejemplo ilustrativo de fuerzas conservativas y no conservativas que actúan sobre un cuerpo.
Un bloque de masa m desliza a lo largo de un plano inclinado de ángulo θ. Parte del reposo a una distancia d del muelle elástico sin deformar de constante k. Calcular la máxima deformación del muelle. Se supone que el plano no es liso, sino que ejerce una fuerza de rozamiento de coeficiente μk sobre el bloque que desliza a lo largo del mismo.
Comparamos la situación inicial y la situación final
Situamos el nivel cero de energía potencial en el origen O. El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la energía inicial y la energía final
Por ejemplo, si d=1.0 m, θ=30º, μ=0.3, k=50 N/m, m=1.0 kg
Resolvemos la ecuación de segundo grado en xm y tomamos la raíz positiva xm=0.357 m=35.7 cm
El problema, como vamos a ver a lo largo de esta página, es susceptible de un estudio más detallado
Ecuaciones del movimiento
Para analizar el movimiento, situamos el eje X a lo largo del plano inclinado, con el origen en la posición del extremos libre del muelle sin deformar, la parte positiva apuntando hacia abajo. Las etapas del movimiento son las siguientes:
1.-El bloque baja deslizando por el plano inclinado
El bloque parte de la posición x0<0 y desliza hacia abajo si la componente del peso mg·senθ es mayor que la fuerza de rozamiento máxima, μs·mg·cosθ, en caso contrario, permanecerá en reposo en la posición inicial.
mgsenθ≥μs·mg·cosθ
El ángulo θ del plano inclinado para que el bloque deslice tiene valer tanθ≥μs
Supongamos que se cumple esta condición y el bloque desliza hacia abajo. Las fueras sobre el bloque son:
El peso mg
La reacción del plano N=mg·cosθ
La fuerza de rozamiento, de sentido contrario a la velocidad del bloque fr=μk·N
La aceleración constante es
a+=g(senθ-μcosθ)
La posición x y velocidad v en función del tiempo es
Llega al origen en el instante t con velocidad v0.
2.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia abajo
Las fuerzas sobre el bloque son:
El peso mg
La reacción del plano N=mg·cosθ
La fuerza que ejerce el muelle deformado x, k·x
La fuerza de rozamiento, de sentido contrario a la velocidad del bloque, fr=μk·N
Cuando el bloque se mueve hacia abajo (v>0), la ecuación del movimiento es
ma=-kx+mgsenθ-μkmgcosθ
ma=-kx+ma+
Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
con ω2=k/m
Esta ecuación del movimiento nos recuerda la ecuación diferencial de un MAS, pero además tiene un término adicional a+
La solución de la ecuación diferencial es la suma de la homogénea (la ecuación de un MAS) más una constante C. Introduciendo la solución particular (la constante C) en la ecuación diferencial
ω2C= a+ C=a+ /ω2
La solución completa de la ecuación diferencial es
La velocidad del bloque es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales
Ponemos el contador de tiempo parcial a cero t=0, el bloque llega al origen x=0, con velocidad v0.
0=B+a+/ω2
v0=Aω
La posición x y la velocidad v del bloque en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia abajo, es
El máximo desplazamiento xm se produce cuando la velocidad es nula v=0, en el instante t tal que
Teniendo en cuanta las relaciones
y que en el segundo cuadrante, el seno es positivo y el coseno es negativo. Llegamos después de algunas operaciones a la expresión para el máximo desplazamiento xm
3.-El bloque en contacto con el muelle, desliza hacia arriba
El móvil parte de xm con velocidad inicial nula siempre que se cumpla que
kxm-mgsenθ ≥ μsmgcosθ,
ω2xm≥a-
en caso contrario la posición xm será la posición final del bloque.
Supongamos que se cumple la primera condición.
Cuando el bloque se desliza a lo largo del plano inclinado, hacia arriba (v<0), la fuerza de rozamiento cambia de sentido y la ecuación del movimiento es
ma=-kx +mgsenθ+μkmgcosθ
ma=-kx+ma-
Escribimos la ecuación del movimiento en forma de ecuación diferencial
La solución completa de la ecuación diferencial es
Ponemos el contador de tiempo parcial t a cero, el bloque parte de la posición xm con velocidad nula, las constantes A y B de la ecuación de la posición valen
xm=B+a-/ω2
0=Aω
La posición x y la velocidad v de dicho cuerpo en su movimiento a lo largo del plano inclinado, hacia arriba, son
Cuando el móvil pasa por el origen x=0,
Pasa por el origen
Como |cos(ωt)|≤1 se tiene que cumplir que ω2xm≥2a-.para pasar por el origen, en el instante t tal que
La velocidad vf que lleva al pasar por el origen x=0 es
Como el radicando no puede ser negativo se tiene que cumplir que ω2xm≥2a-
A continuación, el bloque continúa ascendiendo por el plano inclinado, x<0 sin estar en contacto con el muelle
No pasa por el origen
En el caso que ω2xm<2a- el móvil se para antes de llegar al origen, en el instante t en el que v=0 ó sen(ωt)=0, ωt=π. El móvil se para en la posición