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Respuesta: VER EXPLICACIÓN PASO A PASO.
Explicación paso a paso:
Sea n un entero positivo.
n³ = cubo de n
(n + 1)³ = cubo de (n+1) = n³ + 3n² + 3n + 1
(n + 2)³ = cubo de (n + 2) = n³ + 6n² + 12n + 8
La suma S de los tres cubos consecutivos es:
S = n³ + (n³ + 3n² + 3n + 1) + (n³ + 6n² + 12n + 8)
S = 3n³ + 9n² + 15n + 9
Entonces, S = 9n² + 9 + 3n³ + 15n = 9(n² + 1) + 3n³ + 15n.
Se debe demostrar que (3n³ + 15n) es múltiplo de 9.
Se demuestra por inducción.
Si n = 1 , (3n³ + 15n) = 3 . 1³ + 15.1 = 18 = 2 . 9 = Múltiplo de 9
Si n = 2, (3n³ + 15n) = 3 . 2³ + 15.2 = 54 = 6 . 9 = Múltiplo de 9
Se supone que si n = k, (3n³ + 15n) = 3k³ + 15k = 9N, siendo N un entero positivo.
Sea n = k+1, entonces (3n³ + 15n) = 3(k+1)³ + 15(k+1)
= 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15
= 3k³ + 9k² + 9k + 3 + 15k + 15
= 3k³ + 15k + (9k² +9k + 18)
= 9N + 9(k² + k + 2)
= 9 ( N + k² + k + 2)
= 9 L , donde L = N + k² + k + 2.
Entonces, por el principio de inducción, (3n³ + 15n) es múltiplo de 9.
Por tanto, como S es la suma de dos múltiplos de 9, S también es múltiplo de 9.
Finalmente , la suma S de tres cubos consecutivos, es un múltiplo de 9.