Question

Alguien me podría decir como resolver:
5
∫ (1-2x^2)dx
4

utilizando la definición de integral definida

Answer 1

Tu pregunta es la siguiente

Calcular de la integral definida de 

$\int\limits^5_4 ({1-2 x^{2} }) \, dx$

Para ésto lo primero que vamos a ver son algunas cosas que debes tenerlas presentes..

Una de las propiedades de la integrales.

$\int\limits^a_b {(f(x)} \, +g(x)+h(x)+...)dx= \int\limits^a_b {f(x)} \, dx + \int\limits^a_b {g(x)} \, dx + \int\limits^a_b {h(x)} \, dx +...$
es decir si tengo una suma de integrales puede integrar cada término separado...

también:

$\int\limits^b_a {kf(x)} \, dx =k \int\limits^b_a f({x} )\, dx$ 
Donde "k" es una constante, es decir a la constante podemos sacarle de la integral.

También tienes que saber el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:

$\int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$
Éste teorema nos garantiza que cuando hallemos la primitiva de la integral vamos hallar éstos valores particulares.

y también, recordando un poco de derivadas...

$f(x)= x^{n} \\ f`(x)=n( x^{n-1} )$

Integrar es lo contrario verdad, a partir de mi derivada quiero saber de que función salió...entonces

$\int\limit{ x^{n} } \, dx= \frac{ x^{n+1}}{n+1}$ 
Donde "n" es DISTINTO DE -1 
SI VERDAD?...porque si el polinomio que tenemos dentro está elevado a la menos 1, si aplicamos éste método nos quedaría x elevado a la -1 +1 y eso es cero...por ésta razón el exponente NO PUEDE SER -1 para usar ésta característica..
y ya, con éstas herramientas vamos a resolver el problema...

$\int\limits^5_4 ({1-2 x^{2} )} \, dx = \int\limits^5_4 {1} \, dx + \int\limits^5_4 {-2 x^{2} } \, dx = (1)\int\limits^5_4 \, dx -(2 )\int\limits^5_4 { x^{2} } \, dx =... \\ ...=(x-2( \frac{ x^{3} }{3} )) \left[\begin{array}{}5&&4\\\end{array} =F(5)-F(4)=(5-2 (\frac{ 5^{3} }{3} ))-(4-2 (\frac{ 4^{3} }{3}) )=...$

$...=(5-2 (\frac{ 5^{3} }{3} ))-(4-2 (\frac{ 4^{3} }{3}) )=(5-2 \frac{125}{3} )-(4-2 (\frac{64}{3}) )= ...\\ ...=(\frac{15-250}{3} )-( \frac{12-128}{3} )= -\frac{235}{3} -( -\frac{116}{3} )=- \frac{119}{3} =-39.666....$

y eso sería todo, espero te haya servido y si tienes alguna duda me avisas