Question

Me podrían resolver este limite

Answer 1

$\text{Hallemos los l\'imites laterales si es que existen. Note lo siguiente:}\\ \\ \text{Si }x\in \langle 0 , \pi\rangle \Longrightarrow \left[\kern-0.27em\left[ \dfrac{\pi -x}{\pi+x}\right]\kern-0.27em\right]=0\\ \\ \\ \text{Si }x\in \left\langle -\dfrac{\pi}{3},0\right\rangle \Longrightarrow\left[\kern-0.27em\left[ \dfrac{\pi -x}{\pi+x}\right]\kern-0.27em\right]=1\\ \\ \\ \text{L\'imite por la derecha:}$


$\displaystyle \bullet \lim_{\substack {x\to 0^+\\x\in \langle 0,\pi\rangle}} {\dfrac{\sin (2x)}{\left[\kern-0.27em\left[ \dfrac{\pi -x}{\pi+x}\right]\kern-0.27em\right]-\cos(2x)}}=\lim_{\limits{x\to 0^+}} \dfrac{\sin (2x)}{-\cos (2x)}=0\\ \\ \\ \\ \text{L\'imite por la izquierda}\\ \\ \\ \\ \bullet\lim_{\substack {x\to 0^-\\x\in \langle -\pi/3,0\rangle}} {\dfrac{\sin (2x)}{\left[\kern-0.27em\left[ \dfrac{\pi -x}{\pi+x}\right]\kern-0.27em\right]-\cos(2x)}}=\lim_{\limits{x\to 0^-}} \dfrac{\sin (2x)}{1-\cos (2x)}=-\infty$

Por ende no hay límite en x = 0