Question

calcular el valor de S
S=2+6+12+20+.......+3080

Answer 1

S=2(1+3+6+10+15+21+28+...+1540)

Si se piensa en el conjunto (1,3,6,10,...,1540) como una sucesión An

A1=1
A2=A1+2
A3= A2+3
A4=A3+4
...
$A_{n}= A_{n-1}+n$

S=2(A1+A2+A3+A4+...+An)
S=2(A1+(A1+2)+(A2+3)+(A3+4)+...+(An-2 +n-1)+(An-1 +n))
S=2(1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) +...+(1+2+3+4+...+n))

De acá en adelante es un análisis cuidadoso

Empezando por saber cuanto es n?

Entonces como 1+2+3+4+5+6+...+n=1540
se sabe por sumas de Riemman, que n(n+1)/2=1540
n(n+1)=3080

se despeja n, y se toma su valor positivo que es n=55

entonces
S=2(1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4) +...+(1+2+3+4+...+55))

Ahora mira cuantas veces se repite el 1 (55 veces), cuantas veces se repite el 2 (54 veces), cuantas veces se repite el 3(53 veces) y así

S=2(1*55 + 2*54 + 3*53+ 4*52+...+54*2 + 55*1)
Nota que se repiten los términos excepto 28*28, entonces

S=2(2(1*55+ 2*54 + 3*53+ 4*52+...+27*29)+28*28)

Acá aplicas sumas de riemman

S=4*Suma(i(56-i)) con i variando de 1 a 27 +2*28*28

S=4*Suma(56i-i^2)) con i variando de 1 a 27 + 2*28*28
S=4(56*(27)(28)/2 - (27)(28)(55)/6) + 2*28*28
S=4(21168 -6930 )+1568
S=58520