Question

Hola me ayudan en la 43; 44;45;47;48!60 con su solución plisssss

Answer 1

Te ayudo con dos: la 47 y la 60.

47.- Ahí tienes tres progresiones aritméticas (PA) mezcladas de este modo:
2 -  -  - 4 -  -  - 6 -  -  - 8...
-   3 -  -  - 6 -  -  - 9 -  -  - 12...
-  -   1 -  -  -  2 -  -  - 3 -  -  -  4...

Como dice que hay un total de 60 sumandos, podemos repartirlos entre las 3 progresiones de tal modo que habrá 20 términos en cada progresión, ok?

Acudiendo a la fórmula del término general para conocer el último término $a_n$ de cada PA la cual dice:
$a_n = a_1 + (n-1)*d$

⇒ 1ª PA .- Dispongo de estos datos:
a₁ = 2  (primer término de la PA)
d = 2 (diferencia entre términos consecutivos)
n = 20 (nº de términos de la PA)

$a_2_0=2+(20-1)*2=2+38= 40$

Sabiendo ese término, se acude a la fórmula de suma de términos y calculo la suma de todos sus términos:

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} =(2+40)*10=420$
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Corresponde ahora hacer lo mismo con las otras PA.

⇒ 2ª PA .- Dispongo de estos datos:
a₁ = 3  (primer término de la PA)
d = 3 (diferencia entre términos consecutivos)
n = 20 (nº de términos de la PA)

$a_2_0=3+(20-1)*3=3+57= 60$

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} =(3+60)*10=630$
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3ª PA .- Es la más simple porque se trata de la sucesión de números naturales, de modo que los datos serán:

a₁ = 1  (primer término de la PA)
d = 1 (diferencia entre términos consecutivos)
n = 20 (nº de términos de la PA)

En esta PA no es necesario valerse de la fórmula porque está claro que el término a₂₀ será 20.

Me voy a la suma...
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} =(1+20)*10=210$

Finalmente se suman las sumas de cada PA (valga la redundancia).

$420+630+210=1260$  
Tienes marcada la opción correcta que es la d)
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60 .- Doy por sentado que los cuatro empresarios SI que se conocen y por tanto no van a darse la mano entre ellos.

La manera más simple que veo de resolverlo es tomarlo como 6+4 = 10 personas que no se conocen y que han de saludarse todos con todos.

Obviamente se trata de...
COMBINACIONES DE 10 ELEMENTOS TOMADOS DE 2 EN 2 
y resolviendo por la fórmula de factoriales...

$C_m_,_n= \frac{m!}{n!*(m-n)!}$

$C_1_0_,_2 = \frac{10!}{2!*(10-2)!}= \frac{10*9}{2}=45$

Pero teniendo en cuenta que los 4 empresarios no han de saludarse, se calculan las combinaciones de esos 4 elementos tomados de 2 en 2 y se restan del resultado anterior.

$C_4_,_2 = \frac{4!}{2!*(4-2)!}= \frac{4*3}{2}=6$

La solución es 45-6 = 39  ... opción d)

Saludos.