Question

URGENTE - SUMA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

13) Halla el término general y la suma de los "n" primeros términos de la progresión aritmética $\left \{ 0, 5, 10, 15, 20, ... )$

(*) Necesito todo el procedimiento junto con su explicación. Muchas gracias :)

Answer 1

Fórmula del término general:
$a_n = a_1 + (n-1)*d$

Datos conocidos:
a₁ = 0
d = 5 (diferencia entre términos consecutivos)

Sustituyendo en la fórmula...
$a_n = 0 + (n-1)*5=5n-5$ 

Y la pregunta del millón: ¿cómo se comprueba que está bien deducido el término general?  
Pues tan simple como dar valores a "n" y sustituirlos en esa fórmula, de este modo:

Para n=1 ... a₁ = 5·1 - 5 = 5-5 = 0 
Para n=2 ... a₂ = 5·2 - 5 = 10-5 = 5
Para n=3 ... a₃ = 5·3 - 5 = 15-5 = 10... etc

Como ves, la progresión se construye según ese modelo.
Por tanto, el término general de esta progresión es: $a_n = 5n-5$
__________________________________________

Para la suma de términos se usa la otra fórmula conocida:
$Sn = \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

Y como no nos pide una cantidad de términos a sumar sino que lo pide en general, (la suma de "n" términos) no tenemos que sustituir ese dato allí donde aparezca sino sólo lo que conocemos que es el término a₁ que es cero, así que esa fórmula nos queda:

$S_n = \frac{(0+a_n)*n}{2} \\ \\ S_n = \frac{a_n*n}{2}$

Y ahí queda la solución según los datos que nos dan. Si a partir de esta fórmula nos pidieran la suma de cualquier cantidad "n" de términos, sólo habría que sustituir ese número donde se encuentra "n" y también calcular mediante la otra fórmula (5n-5) el valor de $a_n$ para después realizar la operación expresada y obtener la suma.

Saludos.