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Respuesta:
Ejemplo 1
Supongamos un cuerpo sumergido de densidad ρ rodeado por un fluido de densidad ρf. El área de la base del cuerpo es A y su altura h.
La presión debida al fluido sobre la base superior es p1=ρfgx, y la presión debida al fluido en la base inferior es p2=ρfg(x+h). La presión sobre la superficie lateral es variable y depende de la altura, está comprendida entre p1 y p2.
Las fuerzas debidas a la presión del fluido sobre la superficie lateral se anulan. Las otras fuerzas sobre el cuerpo son las siguientes:
Peso del cuerpo, mg
Fuerza debida a la presión sobre la base superior, p1·A
Fuerza debida a la presión sobre la base inferior, p2·A
En el equilibrio tendremos que
mg+p1·A= p2·A
mg+ρfgx·A= ρfg(x+h)·A
o bien,
mg=ρfh·Ag
Como la presión en la cara inferior del cuerpo p2 es mayor que la presión en la cara superior p1, la diferencia es ρfgh. El resultado es una fuerza hacia arriba ρfgh·A sobre el cuerpo debida al fluido que le rodea.
Como vemos, la fuerza de empuje tiene su origen en la diferencia de presión entre la parte superior y la parte inferior del cuerpo sumergido en el fluido.
Con esta explicación surge un problema interesante y debatido. Supongamos que un cuerpo de base plana (cilíndrico o en forma de paralepípedo) cuya densidad es mayor que la del fluido, descansa en el fondo del recipiente.
Si no hay fluido entre el cuerpo y el fondo del recipiente ¿desaparece la fuerza de empuje?, tal como se muestra en la figura
Si se llena un recipiente con agua y se coloca un cuerpo en el fondo, el cuerpo quedaría en reposo sujeto por su propio peso mg y la fuerza p1A que ejerce la columna de fluido situada por encima del cuerpo, incluso si la densidad del cuerpo fuese menor que la del fluido. La experiencia demuestra que el cuerpo flota y llega a la superficie.
El principio de Arquímedes sigue siendo aplicable en todos los casos y se enuncia en muchos textos de Física del siguiente modo:
Cuando un cuerpo está parcialmente o totalmente sumergido en el fluido que le rodea, una fuerza de empuje actúa sobre el cuerpo. Dicha fuerza tiene dirección hacia arriba y su magnitud es igual al peso del fluido que ha sido desalojado por el cuerpo.
Ejemplo 2
Consideremos una cuerpo de forma esférica de radio R, completamente sumergido en un líquido de densidad ρf. El centro de la esfera está a una profundidad h>R.
La presión que ejerce el líquido a una profundidad h-Rcosθ es p=ρf·g(h-Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA señalada en color rojo es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera
Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ
d
F
↓
=
ρ
f
g
(
h
−
R
cos
θ
)
(
2
π
R
sin
θ
⋅
R
d
θ
)
cos
θ
La presión que ejerce el líquido a una profundidad h+Rcosθ es p=ρf·g(h+Rcosθ), la fuerza que ejerce esta presión sobre el área dA es dF=p(2πRsinθ·R·dθ) y su dirección es radial y hacia el centro de la esfera
Su componente a lo largo del eje vertical Z es dF·cosθ
d
F
↑
=
ρ
f
g
(
h
+
R
cos
θ
)
(
2
π
R
sin
θ
⋅
R
d
θ
)
cos
θ
Por simetría las componentes horizontales se anulan
La fuerza total que ejerce la presión del fluido sobre la superficie de la esfera es hacia arriba e igual a la diferencia
Verificamos de nuevo, el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido, la gravedad y el volumen del cuerpo sumergido
Flotación entre dos líquidos no miscibles
Un cuerpo sólido está sumergido en dos líquidos inmiscibles: agua y aceite. Determinaremos la densidad de dicho cuerpo por dos métodos distintos:
El principio de Arquímedes
La ecuación fundamental de la estática de fluidos
El aceite que tiene una densidad 0.8 g/cm3 se sitúa en la parte superior y el agua que es más densa 1.0 g/cm3 se sitúa en la parte inferior del recipiente.
La densidad del bloque es un número comprendido entre la densidad del aceite 0.8, y la del agua 1.0. Un cuerpo de esta densidad flota entre los dos líquidos.
Principio de Arquímedes
Conociendo que parte del sólido está sumergido en aceite (fluido 1) o en agua (fluido 2), se determinará la densidad de dicho cuerpo.
El principio de Arquímedes nos dice que si el bloque está en equilibrio, el peso del bloque debe ser igual al empuje proporcionado por ambos líquidos.
Peso del bloque =empuje del agua + empuje del aceite
ρShg=ρ2Sxg+ρ1S(h-x)g
S es el área de la base del bloque, h su altura, y x es la parte del bloque sumergida en agua.
En general, un cuerpo que flota en la superficie del agua, está sumergido en dos fluidos, uno es el agua ρ2=1000 kg/m3 y el otro es el aire ρ1=1.29 kg/m3. Habitualmente, se desprecia la densidad del aire frente a la del sólido ρ y la del fluido ρ2, aplicándose la fórmula aproximada
Ejemplo
Supongamos un bloque de h=20 cm de altura, observamos que el bloque está sumergido 13 cm en aceite y 7 cm en agua.
ρ·20=0.8·13+1.0·7
Despejando en la fórmula la densidad del sólido, obtenemos el valor de 0.87 g/cm3.
Explicación: