Respuestas
Planteamiento
Primero deberas saber que es una funcion continua: cosa que puedes demostrar facilmente con sus laterales, si observar cuando una funcion es continua por "derecha" y "izquierda" se acercan a un mismo valor.
En terminos sencillo identificamos:
Es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Se dice que la función es discontinua si no es continua, es decir, presenta algún punto en el que existe un salto y la gráfica se rompe.
Resolucion
A) En ese caso veremos que tendremos dos rangos para las soluciones; esas son las que nos dice el problema.En intervalos seria
I) si la x pertenece al intervalo (-∞,1), entonces la funcion se evalua en 2x
II)si la x pertenece al intervalo [1,∞), entonces la funcion se evalua en x+2
Lo que quiere decir que mientras graficamos esa funcion en el intervalo A en numeros menores a 1 hasta 1 observaremos un salto.
No es continua en ese intervalo
B) en el intervalo (0,1) estariamos evaluando en la funcion en 2x todo el tiempo asi que no presentara ningun salto.
Es continua
C)en el intervalo (-5,2] llega un punto en el que pasaremos de evaluar la funcion en 2x a x+2, lo que presentaria un salto
No es continua
D)en el intervalo [1,4) estariamos evaluando en la funcion x+2 todo el tiempo asi que no presentara ningun salto.
Es continua
E)en el intervalo (1,∞) estariamos evaluando en la funcion en x+2 todo el tiempo asi que no presentara ningun salto.
Es continua
Estoy asumiendo que manejas bien los conceptos de intervalos cerrados y abiertos (cosa que era necesaria para resolver ese problema), si quieres entenderlo mejor te recomiendo graficarlo.
En el problema nos queda facil porque dentro de los rangos a evaluar no hay mas restricciones, es decir, bien puedo coger a todos los numero reales, cosa que no es posible en una raiz cuadrada (ejemplo Raiz cuadrada de x) cosa que me restringe que lo del interior no sea negativo, porque nos estaria dando un numero complejo.