En cierta ciudad, las bicicletas que usan los panaderos generalmente son armadas con la siguiente
configuración de ruedas: la rueda trasera tiene 52 cm de diámetro, mientras que la delantera tiene 40
cm de diámetro. A una de estas bicicletas se le hacen marcas en los puntos de contacto con el piso y
se le hace avanzar hacia adelante, en línea recta.
a) Determinar el mínimo de vueltas que debe dar la rueda trasera para que ambas ruedas vuelvan a
estar como al principio.
b) Determinar cuántas vueltas ha completado la rueda delantera, cuando la rueda trasera haya dado
exactamente 2021 vueltas.
Respuestas
La rueda trasera debe dar un mínimo de 10 vueltas para coincidir con la rueda delantera en la posición que tenían originalmente.
Explicación paso a paso:
Antes de responder las interrogantes, se debe calcular la distancia recorrida por cada rueda al dar una vuelta completa.
Para ello se usa la fórmula de longitud de una circunferencia:
Longitud de la circunferencia = π (diámetro)
Longitud de la rueda delantera = π (40) = 40π cm
Longitud de la rueda trasera = π (52) = 52π cm
a) Determinar el mínimo de vueltas que debe dar la rueda trasera para que ambas ruedas vuelvan a estar como al principio.
Para determinar el número de vueltas que debe dar la rueda trasera para igualar la posición inicial, hay que determinar el mínimo común múltiplo (mcm) entre las distancias recorridas; es decir, es hallar la distancia que debe recorrer la bicicleta hasta la próxima oportunidad en que las ruedas estén ubicadas como al inicio.
Se sabe que el mcm entre dos números es el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Las distancias no están medidas en números enteros, pero el número π es un factor más en la descomposición, por tanto:
52π = 2²×13×π
40π = 2³×5×π
mcm = 2³×5×13×π = 520π cm
A los 520π cm de recorrido se vuelven a ubicar las ruedas en la posición original.
Para saber el número de vueltas que representa esa distancia recorrida, se divide entre la distancia recorrida en una vuelta:
Vueltas de la rueda trasera = (520π)/(52π) = 10 vueltas
La rueda trasera debe dar un mínimo de 10 vueltas para coincidir con la rueda delantera en la posición que tenían originalmente.
b) Determinar cuántas vueltas ha completado la rueda delantera, cuando la rueda trasera haya dado exactamente 2021 vueltas.
Se multiplica el número de vueltas dadas por la rueda trasera por la distancia que recorre en una vuelta, de esta forma se obtiene la distancia recorrida por la bicicleta. Luego se divide esta distancia entre el valor de la distancia que recorre la rueda delantera en cada vuelta y se obtiene el número de vueltas dadas por esta última.
Distancia total recorrida = (2021)(52π) = 105092π cm
Vueltas de la rueda delantera = (105092π)/(40π) = 2627.3 vueltas
Cuando la rueda trasera ha dado 2021 vueltas exactamente, la rueda delantera habrá dado 2627.3 vueltas.