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Respuesta:
1.‐ a) Tenemos una cuerda que pasa por una polea. En un extremo de la cuerda cuelga
un peso de 5 N y por el otro se aplica una fuerza de 10 N. Hallar la aceleración del
peso.
b) Si en lugar de la fuerza de 10 N, colgamos un peso de 10 N. ¿Será igual la aceleración
que en el caso a).
a)
La fuerza de 10 N que se aplica a la cuerda, se transmite al peso. Aplicamos la segunda ley
de Newton al peso: ܨߑ ൌ ݉ ܽ
Sobre el peso actúan la fuerza de 10 N que se aplica y el peso de 5 N pero con sentido
contrario a la fuerza:
ܨെܲൌ݉ܽ
Donde ݉ ൌ
, con lo que la ecuación es la siguiente:
10 െ ହ
݃ ൌ
ହ
ܽ → 5 ൌ ହ
ܽ → ݃ ൌ ܽ ൌ 9.81 m/s Esta es la aceleración con la que sube
el peso.
b)
En el caso en que colgamos un peso de 10 N, aplicamos la 2ª ley de Newton a cada uno de
los dos bloques. Llamamos P1 al bloque de 10 N y P2 al bloque de 5 N. Con lo que hallamos las
dos ecuaciones siguientes:
ܲଵ െܶൌ
ܲଵ
݃
ܽ
ܶെܲଶ ൌ ܲଶ
݃
ܽ
Donde T es la tensión en la cuerda, la cual va siempre en dirección contraria al bloque
respecto al cual estamos realizando la ecuación, y en los dos bloques es la misma tensión ya que es
la misma cuerda y en la polea la cuerda circula libremente.
Si sumamos las dos ecuaciones anteriores llegamos a la siguiente ecuación:
ܲଵ െ ܲଶ ൌ ܽ
݃
ሺܲଵ ܲଶሻ → ܽ ൌ
ሺܲଵ െ ܲଶሻ݃
ሺܲଵ ܲଶሻ ൌ 5
15 ݃ ൌ
݃
3 ൌ 3.27 m/s
Ahora el bloque de 5 N asciende con una aceleración de 3.27 m/s. Esto ocurre así porque
ahora la fuerza del bloque (10 N), el peso del bloque, debe mover ambas masas, mientras que en el
caso a) sólo se movía la masa del bloque de 5 N.
2.‐ El sistema más sencillo de poleas se denomina máquina de Atwood y se utiliza para
medir la aceleración de la gravedad g a partir de la aceleración de los dos bloques.
Suponiendo que la cuerda y la polea tienen una masa despreciable y la polea carece de
rozamiento, demostrar que la aceleración de cualquiera de los bloques y la tensión de
la cuerda son:
ൌ ࢇ
െ
ൌ ࢀ ࢍ
ࢍ
Para poder demostrar que la aceleración y la tensión son la fórmula que anuncia el
problema empezamos aplicando la 2ª ley de Newton a cada bloque por separado (suponemos que
m2 > m1) :
݉ଶ݃െܶൌ݉ଶܽ
ܶെ݉ଵ݃ൌ݉ଵܽ
Si sumamos las dos ecuaciones resulta la siguiente ecuación:
ሺ݉ଶ െ ݉ଵሻ݃ ൌ ሺ݉ଵ ݉ଶሻܽ → ܽ ൌ
݉ଶ െ ݉ଵ
݉ଵ ݉ଶ
݃
Despejando T en la segunda ecuación:
ܶൌ݉ଵ݃݉ଵܽൌ݉ଵሺ݃ܽሻ
Y sustituyendo la aceleración por la fórmula que hemos hallado anteriormente:
݉ଵ ൬
݉ଶ െ ݉ଵ
݉ଵ ݉ଶ
݃൰ ݉ଵ ൬
݉ଵ ݉ଶ
݉ଵ ݉ଶ
൰ ݃
En la segunda parte de la ecuación se ha introducido una fracción que no influye en el
resultado pero es útil para poder simplificar y que el resultado sea idéntico al que da el enunciado.
Por lo que el resultado final es:
ܶ ൌ
݉ଵ݉ଶ݃݉ଵ݉ଶ݃
݉ଵ ݉ଶ
ൌ 2݉ଵ݉ଶ
݉ଵ ݉ଶ
݃
3.‐ La polea de una máquina de Atwood experimenta una aceleración a hacia arriba.
Determinar la aceleración de cada masa y la tensión de la cuerda.
Para poder realizar este problema debemos de hacer una suposición, que el bloque m1 sube
con su aceleración propia (apr) (relativa a la polea) más la aceleración externa (a), por lo que
suponemos que m2 > m1, esto es, (a + apr) será la aceleración absoluta de m1.
Supondremos igualmente que el bloque m2 asciende también pero con una aceleración
absoluta (a − apr) ya que m2 descenderá con respecto a la polea. Es evidente que nuestras
suposiciones dependerán de los valores reales de las masas, lo cual podría hacer que al sustituir
dichos valores, los resultados numéricos de las aceleraciones fueran negativos.
Si aplicamos la 2ª ley de Newton a cada bloque por separado obtenemos las siguientes
ecuaciones:
ܶെ݉ଶ݃ ൌ ൫ܽ െ ܽ൯݉ଶ
ܶെ݉ଵ݃ ൌ ൫ܽ ܽ൯݉ଵ
(ya que hemos supuesto que ambas masas ascienden, las tensión será mayor que los pesos)
Si restamos la segunda ecuación a la primera obtenemos la siguiente ecuación:
ሺ݉ଵ െ ݉ଶሻ݃ൌ݉ଶܽെ݉ଶܽ െ ݉ଵܽെ݉ଵܽ
Para hallar apr basta con despejarla de la ecuación anterior, y el resultado es el siguiente:
ሺ݉ଵ െ ݉ଶሻ݃െ݉ଶܽ݉ଵܽ ൌ െܽሺ݉ଵ ݉ଶሻ
ܽ ൌ ሺ݉ଶ െ ݉ଵሻሺ݃ܽሻ
݉ଵ ݉ଶ
Como podemos observar la aceleración relativa de los bloques con respecto a la polea es la
misma que en el problema 2 pero con (g + a) en lugar de g.
Teniendo el resultado de apr podemos hallar la aceleración total de cada bloque.
Para el bloque m2 obtenemos:
ܽଶ ൌܽെܽ ൌ ሺ݉ଵ ݉ଶሻ
݉ଵ ݉ଶ
ܽ െ
ሺ݉ଶ െ ݉ଵሻ
݉ଵ ݉ଶ
ሺܽ݃ሻ
En la primera parte de la ecuación se ha introducido una fracción que no influye en el
resultado pero es útil para poder simplificar.
Por lo que el resultado de la aceleración absoluta del bloque m2 queda así:
ܽଶ ൌ ሾ2݉ଵܽ ሺ݉ଵ െ ݉ଶሻ݃ሿ
݉ଵ ݉ଶ
Para el bloque m1 obtenemos:
ܽଵ ൌܽܽ ൌ ሺ݉ଵ ݉ଶሻ
݉
S
Explicación:
me gusta si te ayude