Question

en una clase de matematicas asisten 10 estudiantes y se van a formar equipos de trabajo de 2. cuantos equipos de trabajo diferentes se pueden formar

Answer 1

COMBINATORIA.  Tenemos 10 elementos y hemos de agruparlos de 2 en 2 pero hay que distinguir entre dos clases de agrupaciones.

Variaciones sería si al invertir el orden de una agrupación de dos elementos, el resultado fuera distinto para el objetivo del ejercicio. Es decir que al tomar los elementos "a" y "b" no sería lo mismo ponerlos como "ab" que como "ba" y por tanto contabilizaríamos dos agrupaciones, es decir, dos variaciones. 

Combinaciones sería cuando al invertir el orden de dos elementos, el resultado sería el mismo y sería la misma agrupación. 

Esto se ve fácilmente con dos ejemplos:
Si nos piden formar números de dos cifras con las cifras del 1 hasta el 9, ocurre que no es el mismo número el 12 que el 21 y hemos tomado los mismos elementos, sólo que los hemos invertido. Se contarían como dos agrupaciones distintas y serían VARIACIONES. Lo que significa que serán variaciones cuando IMPORTE EL ORDEN EN QUE SE TOMAN LOS ELEMENTOS para distinguir una de otra agrupación. No es nuestro caso.

Sin embargo, en el ejercicio que planteas hemos de agrupar a personas por parejas y se ve claramente que si tomamos a Luís y Pedro, es lo mismo que si tomamos a Pedro y Luís, son las mismas personas y por tanto es una sola agrupación. Esto se llama COMBINACIONES.  Serán COMBINACIONES cuando NO IMPORTE EL ORDEN EN QUE SE TOMAN LOS ELEMENTOS.

Es la gran diferencia entre un modo y otro de agrupación.

Tenemos pues COMBINACIONES DE 10 ELEM. TOMADOS DE 2 EN 2
Acudiendo a la fórmula de las combinaciones que dice:
$C_(_m_,_n_) = \frac{m!}{n!*(m-n)!}$

donde...
m = número total de elementos
n = número de elementos que se toman en cada combinación

Sustituyo valores...
$C_(_1_0_,_2_)=\frac{10!}{2!*(10-2)!}=\frac{10*9*8!}{2*8!}=\frac{10*9}{2}=45$

Saludos.