Elige un número de dos cifras y multiplica sus cifras. Con el resultado, vuelve a
hacer lo mismo, multiplica sus cifras. Repite, así, el procedimiento hasta que
obtengas un número con una sola cifra. ¿Cuántos números de dos cifras hay que al
final de ese procedimiento reiterativo te lleven al 0 como número de una cifra?
Respuestas
Respuesta:
Para que se vea mejor, voy a resolver primero un caso más sencillo, y después resolvemos el caso concreto que planteé.
Vamos a ver, por ejemplo, cuántos ceros seguidos tiene al final el resultado de multiplicar los seis primeros números enteros positivos de dos cifras
10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15
Obviamente, se trata de averiguarlo sin tener que realizar la multiplicación completa.
Lo primero que debemos plantearnos es:
¿De qué depende el número de ceros seguidos que pueden aparecer al final de un número?
Pues parece bastante intuitivo que depende de las veces que hayamos multiplicado por 10 en la obtención del número o, dicho de otra manera, de las veces que pueda aparecer el 10 en la descomposición del número en factores.
Así, por ejemplo, si se ha multiplicado dos veces por 10 el número tendrá dos ceros al final, o si se ha multiplicado cuatro veces por 10, el número tendrá cuatro ceros al final.
Observando los números que estamos multiplicando
10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15
podemos pensar que se ha multiplicado una vez por 10 y que el resultado final tendrá sólo un cero al final, pero eso no es cierto.
Para ver realmente cuántas veces aparece el 10 en la descomposición en factores, tenemos que realizar la descomposición en factores primos de cada uno de los números que estamos multiplicando. Y ahora veremos por qué lo hacemos.
10 = 2 · 5
11 = 11 (es un número primo)
12 = 2 · 2 · 3
13 = 13 (es un número primo)
14 = 2 · 7
15 = 3 · 5
Con lo que tendríamos:
10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 = 2 · 5 · 11 · 2 · 2 · 3 · 13 · 2 · 7 · 3 · 5
Ahora debemos darnos cuenta de que 10 es el resultado de multiplicar 2 por 5
10 = 2 · 5
O, lo que es lo mismo, estamos multiplicando por 10 cuando multiplicamos por 2 y por 5.
Tenemos que buscar por tanto «parejas de 2 y 5» entre los factores…
Explicación paso a paso: espero te allude