1-.Dado un número existe otro que lo excede en 6, si la suma de sus cuadrados es igual 68. ¿Cuáles son estos números?
2-.Oscar es 8 años mayor que Daniel. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 160. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? (Operaciones con ecuaciones)
Respuestas
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Ejercicio 1
Sea "x" un número:
- Otro número que excede a "x" en 6 = x + 6
Plateamos expresiones:
- Cuadrado del primer número = x²
- Cuadrado del segundo número = (x + 6)²
Entonces, la ecuación a resolver es:
(x + 6)² + x² = 68
Primero, aplicamos el Binomio al cuadrado (es igual al cuadrado del primer término mas el doble del primer por el segundo término mas el cuadrado del segundo término):
(x + 6)² + x² = 68
x² + 2(x)(6) + 6² + x² = 68
x² + 12x + 36 + x² = 68
Sumamos las x² :
x² + 12x + 36 + x² = 68
2x² + 12x + 36 = 68
Igualamos la ecuación a 0. Pasamos 68 restando al primer miembro:
2x² + 12x + 36 - 68 = 0
2x² + 12x - 32 = 0
Simplificamos la ecuación, dividiendo entre 2:
x² + 6x - 16 = 0
Hallamos dos números que sumados o restados den 6, y multiplicados den -16:
(x + 8)(x - 2) = 0
Igualamos cada grupo a 0:
x + 8 = 0 x - 2 = 0
x = -8 x = 2
Los resultados de "x" son -8 y 2. Si consideramos el valor positivo, entonces x = 2.
Hallamos los dos números:
- Un número: x = 2
- Otro número que excede a "x" en 6: x + 6 = 2 + 6 = 8
➽ Los números son 2 y 8.
Ejercicio 2
Sea "a" la edad de Daniel:
- Oscar es 8 años mayor que Daniel: a + 8
Planteamos expresiones:
- Cuadrado de la edad de Daniel = a²
- Cuadrado de la edad de Óscar = (a + 8)²
Entonces, la ecuación a resolver es:
a² + (a + 8)² = 160
Primero, aplicamos el Binomio al cuadrado (es igual al cuadrado del primer término mas el doble del primer por el segundo término mas el cuadrado del segundo término):
a² + (a + 8)² = 160
a² + a² + 2(a)(8) + 8² = 160
a² + a² + 16a + 64 = 160
Sumamos las a² :
a² + a² + 16a + 64 = 160
2a² + 16a + 64 = 160
Igualamos la ecuación a 0. Pasamos 160 restando al primer miembro:
2a² + 16a + 64 - 160 = 0
2a² + 16a - 96 = 0
Simplificamos la ecuación, dividiendo entre 2:
a² + 8a - 48 = 0
Hallamos dos números que sumados o restados den 8, y multiplicados den -48:
(a + 12)(a - 4) = 0
a + 12 = 0 a - 4 = 0
a = -12 a = 4
Los resultados de "a" son -12 y 4. Como estamos hablando de edades, debemos considerar el valor positivo. Por ello, a = 4.
Hallamos las dos edades:
- Edad de Daniel: a = 4
- Edad de Óscar: a + 8 = 4 + 8 = 12
➽ Daniel tiene 4 años y Óscar tiene 12 años.