Question

Una lancha se encuentra en el mar entre dos faros, la altura del primero es de 40m, desde allí un observador visualiza la lancha con un ángulo de depresión de 45°, el segundo faro mide 50√3 m de alto, y desde allí se visualiza la lancha con un Angulo de depresión de 60°. Cuál es la distancia entre ambos faros en metros?

Answer 1

La distancia entre ambos faros es de 90 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde los triángulos resultan ser notables.      

Triángulos notables

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre estos

Se emplea la letra “k" para indicar dicha proporción entre sus lados.

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados.

Sólo mencionaremos

45-45 (ángulos) o 1-1 (lados)

• En este triángulo  ambos ángulos miden 45°, por lo que los dos catetos medirán igual es decir 1k, mientras que la hipotenusa medirá k √2.

30-60 (por sus ángulos)

• Tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos opuestos por el vértice en C, donde se encuentra la lancha. El ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura de un faro, el lado BC es la distancia del faro 1 a la lancha que llamaremos distancia x y el lado AC que es la proyección visual a la lancha con un ángulo de depresión de 45°. El CDE conformado por el lado DE que equivale a la altura del faro 2, el lado CD que es la distancia del faro 2 a la lancha que llamaremos distancia y y el lado CE que  que es la proyección visual a la lancha con un ángulo de depresión de 60°

Halladas las distancias x e y, su sumatoria determinará la distancia entre ambos faros

Solución

Método 1

Razones trigonométricas

Hallamos la distancia x en ABC

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la distancia x será igual que la altura del faro 1    

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo

$\boxed{\bold { tan(45)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold { tan(45)^o = \frac{ altura\ faro \ 1 }{ distancia \ x } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ faro \ 1 }{ tan(45)^o } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{40 \ m }{ 1 } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 40 \ m } }$

Hallamos la distancia y en CDE

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo

$\boxed{\bold { tan(60)^ o= \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } = \frac{DE}{CD} } }$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ altura\ faro \ 2 }{ distancia \ y } = \frac{DE}{CD} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ faro \ 2 }{ tan(60)^o } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{50\sqrt{3} \ m }{ \sqrt{3} } } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 50 \ m } }$

Hallamos la distancia entre los dos faros

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Faros = distancia \ x +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Faros = 40 \ m +\ 50 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Faros = 90 \ m } }$

La distancia entre ambos faros es de 90 metros

Método 2

Hallando el valor de k

En ABC

La altura del faro 1 es de 40 metros

Y es el cateto opuesto al ángulo notable de 45° el cual mide 1k

$\boxed{\bold {altura\ faro \ 1= 40 \ metros = 1k }}$

Despejamos a k

$\boxed{\bold { 1k = 40 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 40 \ metros }{1} }}$

$\boxed{\bold { k = 40 }}$

El valor de la constante k es 40

Luego la distancia x es el lado adyacente al ángulo notable de 45° y medirá 1k

$\boxed{\bold {distancia \ x \ = 1 k }}$

Reemplazamos a k

$\boxed{\bold {distancia \ x \ = 1 \ . \ 40 }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 40 \ m } }$

Hallando el valor de la constante k

En CDE

La altura del faro 2 es de 50√3 metros

Y es el cateto opuesto al ángulo notable de 60° el cual mide k√3

$\boxed{\bold {altura\ faro \ 2= 50\sqrt{3} \ metros = k\sqrt{3} }}$

Despejamos a k

$\boxed{\bold { k\sqrt{3} = 50\sqrt{3} \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 50\sqrt{3} \ metros }{\sqrt{3} } }}$

$\boxed{\bold { k = 50 }}$

El valor de la constante k es 50

Luego la distancia y es el lado adyacente al ángulo notable de 60° y medirá 1k

$\boxed{\bold {distancia \ y \ = 1 k }}$

Reemplazamos a k

$\boxed{\bold {distancia \ y \ = 1 \ . \ 50 }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 50 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Faros = 90 \ m } }$

Se arriba al mismo resultado