Respuestas
Respuesta:
Las fuerzas sobre el lápiz son: el peso mg que actúa en el centro de masas e la reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto.
Explicación paso a paso:
Respuesta:
Consideraremos el lápiz como una varilla delgada homogénea de masa m y longitud L. Las fuerzas sobre el lápiz son
El peso mg que actúa en el centro de masas
La reacción del suelo N que actúa en el punto de contacto P
La fuerza de rozamiento F que actúa en el mismo punto.
Las ecuaciones del movimiento son la composición de:
Movimiento de traslación del centro de masas
Movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas
θ es el ángulo que forma el lápiz con el eje vertical Y en el instante t.
Ic es el momento de inercia de una varilla de masa m y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el c.m.
El movimiento del lápiz consta de dos etapas
La punta del lápiz está en reposo en contacto con el suelo mientras la fuerza |F|<μN
La punta del lápiz desliza sobre el suelo cuando la fuerza |F|≥μN
La punta del lápiz está en reposo en contacto con el suelo
Se trata del mismo problema que la caída de una varilla inclinada sujeta por uno de sus extremos, con un planteamiento distinto.
Si la punta del lápiz está en contacto con el suelo, la posición del centro de masas es (véase la figura más arriba)
x=(L/2) senθ,
y=(L/2) cosθ
Las componentes rectangulares de la velocidad y aceleración del centro de masas son, respectivamente
Las fuerzas horizontal y vertical en el punto de apoyo P valen
La ecuación del movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m.
(1)
Esta es la ecuación diferencial que obtuvimos para el movimiento de caída de la varilla con su extremo O fijo.
Para obtener el ángulo θ que hace la varilla con el suelo en función del tiempo, se integra la ecuación diferencial mediante procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0
Aproximación
Cuando el ángulo θ es pequeño podemos hacer la aproximación senθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe
Cuya solución es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales: en el instante t=0, la varilla está inclinada un ángulo θ=θ0 y parte del reposo, ω=dθ/dt=0
El desplazamiento angular θ crece exponencialmente con el tiempo.
Explicación paso a paso: