Question

Ayuda con este ejercicio

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

           Principio de inducción Fuerte

Este no es muy diferente del principio de inducción normal, solo debemos considerar lo siguiente:

• Al igual que el PI, partimos de un caso base y debemos comprobarlo

• Comprobado el caso base, podemos asumir que se cumplirá para un "k" determinado (Esto es un requisito del PI), pero Por el PIF, nosotros podemos asumir también que no solo se cumpla para "k", sino para los anteriores también, es decir para "k-1", "k-2", etc (Esto es hipótesis inductiva)

• Con la hipótesis inductiva, podremos demostrar que se cumple para el "k+1"

Antes, una pequeña aclaración

La formula de Fibonacci recursivamente se define de la siguiente manera:

$u_{n} = u_{n-1} +u_{n-2}$  

Para   n ≥ 2

Pero a partir de la tesis inductiva lo vamos a demostrar para n + 1

Antes vamos a usar las siguientes notaciones:

$\alpha = \frac{1+\sqrt{5} }{2}$  

$\beta = \frac{1-\sqrt{5} }{2}$

Por lo tanto el termino general nos quedara de la siguiente forma:

$u_{n} =\frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{n}-\beta ^{n} } )$

Sabemos que alfa y beta son soluciones de la ecuación  x²-x-1=0

Por lo tanto si "despejamos" x² nos queda:

x²= x+1

O mejor dicho

• $\alpha ^{2} =\alpha +1$

• $\beta ^{2} =\beta +1$  

Esto es importante para mas adelante, debemos tenerlo muy en cuenta

                 Caso base

Vemos si se cumple para n= 1

$u_{1}=\frac{1}{\sqrt{5} }* (\alpha ^{1} -\beta ^{1} )$

$u_{1} =\frac{1}{\sqrt{5} }* [\frac{1+\sqrt{5} }{2}-\frac{1+\sqrt{5} }{2} ]$

$u_{1}=\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{2\sqrt{5} }{2}$

$u_{1} =1$

Efectivamente se cumple, por lo tanto hemos comprobado este paso

                          Hipótesis inductiva

• Supongamos que se cumple para todos los k ≥ n,  es decir:

   $u_{k} = \frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{k} -\beta ^{k} )$

Por inducción fuerte, podemos suponer que se cumple para el anterior también, es decir para k - 1

$u_{k-1} =\frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{k-1} -\beta ^{k-1} )$

                            Tesis inductiva

Debemos demostrar para n= k +1, es decir:

$u_{k+1} =\frac{1}{\sqrt{5} }*(\alpha ^{k+1} -\beta ^{k+1} )$

Partimos de la formula recursiva para k + 1, es decir:

$u_{k+1} =u_{k} +u_{k-1}$

Por la hipótesis de inducción:

$u_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{k} -\beta ^{k} )+\frac{1}{\sqrt{5} }*(\alpha ^{k-1} -\beta ^{k-1} )$

Lo que haremos ahora será álgebra, es decir iremos factorizando hasta llegar a lo que queremos

$u_{k+1} =\frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{k} +\alpha ^{k-1} -\beta ^{k} -\beta ^{k-1} )$

$u_{k+1} = [\alpha ^{k-1}*(\alpha +1)-\beta ^{k-1}*(\beta +1) ]$

Recordando que

$\alpha ^{2} =\alpha +1\\\beta ^{2} =\beta +1$

$u_{k+1} =\frac{1}{\sqrt{5} } *(\alpha ^{k-1} *\alpha^{2} -\beta ^{k-1} *\beta ^{2} )$

$u_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5} }*(\alpha ^{k+1} -\beta ^{k+1} )$

Finalmente hemos demostrado por inducción fuerte el termino general de la sucesión de fibonacci

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Saludoss