Question

MATRICES 3

*Necesito todo el procedimiento junto con su explicación

Answer 1

A*X - A = I - A*X 

A*X + A*X = I + A 

(A + A)X = I + A 

$(A+A) ^{-1}(A+A) X =I+A$

$X =(A+A) ^{-1}(I+A)$

(I+A) = $\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&2\\1&0&2\end{array}\right]$

$A+A= \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&1&2\\1&0&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2&2&0\\0&2&4\\2&0&2\end{array}\right]$

$(A+A) ^{-1} = \frac{1}{de(tA+A)} * ( (A+A)^{*}) ^{t}$

Para hallar la inversa de A tienes varios métodos.  (por costumbre uso este pero puedes hallarlo de otras formas)


$det (A+A) \left[\begin{array}{ccc}2&2&0\\0&2&4\\2&0&2\end{array}\right] = (2*2*2 + 2*4*2 + 0) - (0 + 0 + 0)= 24$

Adjunta (A+A)$^{*}$

Eliminamos fila 1 columna 1 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&4\\0&2\\\end{array}\right] = 4$
Eliminamos fila 1 columna 2 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}0&4\\2&2\\\end{array}\right] = -8$
Eliminamos fila 1 columna 3 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}0&2\\2&0\\\end{array}\right] = -4$
Eliminamos fila 2 columna 1 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&2\\\end{array}\right] = 4$
Eliminamos fila 2 columna 2 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&0\\2&2\\\end{array}\right] = 4$
Eliminamos fila 2 columna 3 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&0\\\end{array}\right] = -4$
Eliminamos fila 3 columna 1 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&0\\2&4\\\end{array}\right] = 8$
Eliminamos fila 3 columna 2 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&0\\0&4\\\end{array}\right] =8$
Eliminamos fila 3 columna 3 y nos queda determinante $\left[\begin{array}{ccc}2&2\\0&2\\\end{array}\right] = 4$

Tenemos en cuenta $\left[\begin{array}{ccc}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{array}\right]$

Nuestra matriz adjunta queda. $\left[\begin{array}{ccc}4&8&-4\\4&4&4\\8&-8&4\end{array}\right]$

transponemos 
$\left[\begin{array}{ccc}4&-4&8\\8&4&-8\\-4&4&4\end{array}\right]$

y obtenemos $(A+A)^{-1} = \frac{ \left[\begin{array} {ccc}4&-4&8\\8&4&-8\\-4&4&4\end{array}\right] }{24} = \left[\begin{array}{ccc}1/6&-1/6&1/3\\1/3&1/6&-1/3\\-1/6&1/6&1/6\end{array}\right]$

Ya sólo nos queda el último paso para hallar x

$x=(A+A) ^{-1} (I+A)\left[\begin{array} {ccc}1/6&-1/6&1/3\\1/3&1/6&-1/3\\-1/6&1/6&-1/6\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&2&2\\1&0&2\end{array}\right] =$

x= $\left[\begin{array}{ccc}2/3&-1/6&1/3\\1/3&2/3&-1/3\\-1/6&1/6&2/3\end{array}\right]$