Question

MATRICES 1

*Necesito todo el procedimiento junto con su explicación

Answer 1

1. Desarrollamos la ecuación sin evaluar A y B (así todo es mucho mas fácil y evitamos errores aritméticos):

$A^{-1}XA=B/A*$
$A*A^{-1}XA=A*B$ 
$IXA=AB$
$XA=AB/* A^{-1}$
$XA* A^{-1}=AB*A^{-1}$
$XI=AB*A^{-1}$
$X=ABA^{-1}$
 

Comprobemoslo:

Sea $X=ABA^{-1}$

PDQ:  
       $A^{-1}XA=B$
En efecto:
       $A^{-1}XA=A^{-1}*A*B*A^{-1}* A =I*B*I= B$

Solo nos falta verificar si A es invertible y en el caso de que lo fuera, cuanto vale $A^{-1}$, eso lo haces tu c:


a mi me dio:
         $A^{-1}= \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} & -\frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\\end{array}\right]$

Finalmente:

$X=ABA^{-1}$ =  $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\-2&1\\\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\2&1\\\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{5} &- \frac{1}{5} \\ \frac{2}{5} & \frac{3}{5} \\\end{array}\right]$ 
 

Answer 2

Tenemos  $A ^{-1} * X *A = B$

$A * A ^{-1} * X *A *A ^{-1} = B$

$I * X * I = A*B*A ^{-1}$

$X = A * B * A ^{-1}$

$A * B = \left[\begin{array}{ccc}3&1\\-1&1\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\-2&1\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}5&-2\\0&-3\\\end{array}\right]$

Fila 1 por columna 1 = 3*1 + 1*2 = 5
Fila 1 por columna 2 = 3*(-1) + 1.1 = -2
Fila 2 por columna 1 = (-2)*1 + 1*2 = 0
Fila 2 por columna 2 = (-2)*(-1) + 1 * 1 = 3

$A ^{-1} = \frac{1}{DetA} * ( A^{*} )^{t}$

Det A = 3* 1 - 1*(-2) = 5 

Adjunta de A $A ^{*} = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&3\\\end{array}\right]$

Eliminamos fila 1 columna 1 y queda 1 
Eliminamos fila 1 columna 2 y queda -2
Eliminamos fila 2 columna 1 y queda 1 
Eliminamos fila 2 columna 2 y queda 3 

Respetamos $\left[\begin{array}{ccc}+&-\\-&+\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\-1&3\\\end{array}\right]$

transponemos 
$\left[\begin{array}{ccc}1&-1\\2&3\\\end{array}\right]$

Hallamos la inversa de A 
$A ^{-1} = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1\\2&3\\\end{array}\right] }{5} = \left[\begin{array}{ccc}1/5&-1/5\\2/5&3/5\\\end{array}\right]$

Ya sólo nos queda un paso para obtener la matriz x

$X =(AB)*A ^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}5&-2\\0&3\\\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ccc}1/5&-1/5\\2/5&3/5\\\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1/5&-11/5\\6/5&9/5\\\end{array}\right]$

Fila 1 por columna 1 = 5*1/5 + (-2)*2/5 = 1/5
Fila 1 por columna 2 = 5 * (-1/5) * (-2)*3/5 = -11/5
Fila 2 por columna 1 = 0*1/5 + 3*2/5 = 6/5
Fila 2 por columna 2 = 0*(-1/5) + 3*3/5 = 9/5