Respuestas
¿Una síntoma, una síntoma vertical, está en x =−2, como esperarías de la restricción del dominio. La otra, una síntoma horizontal, aparentemente está cerca de y = 3. (De hecho, está en y = 3.)
· Encontrar el dominio de una función de raíz cuadrada.
· Encontrar el dominio y el rango de una función a partir de su forma algebraica.
Las funciones son correspondencias entre dos conjuntos, llamados dominio y el rango. Cuando defines una función, normalmente dices qué tipo de números pueden tener el dominio (x) y el rango (f(x)). Pero incluso si dices que son números reales, eso no significa que se pueden tomar todos los números reales para x. Tampoco significa que todos los números reales pueden ser valores de la función, f(x). Puede haber restricciones en el dominio y en el rango. Las restricciones dependen parcialmente del tipo de la función.
En este tema, todas las funciones estarán restringidas a valores de números reales. Esto es, sólo los números reales pueden ser usados en el dominio y sólo los números reales pueden estar en el rango.
La división entre 0 podría ocurrir cuando la función tiene una variable en el denominador de una expresión racional. Esto es, hay que poner atención en las funciones racionales. Veamos algunos ejemplos y observa que la “división entre 0” no necesariamente significa que x es 0!
Las raíces cuadradas de números negativos pueden ocurrir cuando la función tiene una variable dentro de un radical con una raíz par. Veamos estos ejemplos y observa que “la raíz cuadrada de un número negativo” ¡no necesariamente significa que el valor dentro del radical es negativo! Por ejemplo, si x = −4, entonces −x = −(−4) = 4, un número positivo.
· la función es una función racional y el denominador es 0 para algún valor de x.
· la función es una función radical con un índice par (como una raíz cuadrada) y el radicando puede ser negativo para algún valor de x.
Recuerda que la función cuadrática básica: f(x) = x2 siempre debe ser positiva, entonces f(x) ≥ 0 en este caso. En general, las funciones cuadráticas siempre tienen un punto con un máximo (si se abre hacia abajo) o un mínimo (si se abre hacia arriba, como la mostrada). Esto significa que el rango de una función cuadrática siempre estará restringido para empezar sobre el valor mínimo o debajo del valor máximo. Para la función anterior, el rango es f(x) ≥ −4.
Las funciones de raíz cuadrada se ven como una media parábola, hacia un lado. El hecho de que la porción de la raíz cuadrada siempre debe ser positiva restringe el rango de la función básica, , a sólo valores positivos. Cambios en esta función, como el negativo enfrente del radical o la resta de 2, pueden cambiar el rango. El rango de la función anterior es f(x) ≤ −2.
Función racional, f(x) =
Las funciones racionales pueden parecer complicadas. No hay nada obvio que restrinja el rango. Sin embargo, las funciones racionales tienen síntomas — líneas a las que la gráfica se acerca, pero nunca las cruza o las toca. Como puedes ver en la gráfica anterior, la restricción del dominio provee una síntoma, x = 6. La otra es la línea y = 1, que provee una restricción al rango. En este caso, no hay valores de x para los que f(x) = 1. Entonces, el rango para esta función es todos los números reales, excepto el 1.
Cualquier número real puede sustituirse por x y obtener una salida con sentido. Para cualquier número real, siempre puedes encontrar un valor de x que te de un número en la salida. A menos que la función lineal sea constante, como f(x) = 2, no hay restricción en el rango.
Puedes comprobar que el vértice está en (1, 4). Como una función cuadrática tiene dos imágenes de espejo, la línea de reflexión debe estar en medio de los dos puntos con el mismo valor de y. El vértice debe quedar en la línea de reflexión, ¡porque es el único punto que no tiene una imagen espejo!
Explicación:
En el ejemplo anterior, observa que cuando x = 2 y cuando x = 0, el valor de la función es 1. (Puedes verificar esto evaluando f(2) y f(0).) Esto es, (2, 1) y (0, 1) están en la gráfica. La línea de reflexión aquí es x = 1, por lo que el vértice debe estar en el punto (1, f(1)). Evalua¿Cuál es el dominio y el rango de la función f(x) = x + 3?
Cualquier número real puede sustituirse por x y obtener una salida con sentido. Para cualquier número real, siempre puedes encontrar un valor de x que te de un número en la salida. A menos que la función lineal sea constante, como f(x) = 2, no hay restricción en el rango.