Question

dada la ecuacion x²+ y²- 6x+4y-51= 0 Hallar el radio y graficar
ayuda xfa

Answer 1

$x^2+y^2-6x+4y-51=0 \\ \\ y^2+4y+x^2-6x-51=0 \\ \\ a=1 \\ b=2 \\ c=x^2-6x-51 \\ \\ y= \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} = \frac{6\pm \sqrt{6^2-4*1*(x^2-6x-51)} }{2*1} = \frac{6\pm \sqrt{36-(4x^2-24x-204)} }{2} = \\ = \frac{6\pm \sqrt{36-4x^2+24x+204)} }{2} = \frac{6\pm \sqrt{-4x^2+24x+240} }{2} =\frac{6\pm \sqrt{-4x^2-24x+240} }{2} = \\ = \frac{6}{2} \pm \frac{\sqrt{-4x^2-24x+240}}{2} =3 \pm \sqrt{\frac{-4x^2-24x+240}{4}} =3 \pm \sqrt{-x^2-6x+40}} = \\ \\ \\ y=3 \pm \sqrt{-x^2-6x+40}}$

Se trata de una circunferencia. Sabemos que el centro de una circunferencia tiene la misma coordenada en x que T y S (máximo y mínimo de la circunferencia); y la ordenada en y intermedia.

1º Encontrar T y S, máximo y mínimo de la circunferencia.

$y=3 \pm \sqrt{-x^2-6x+40}} \\ \\ y'=0+ \frac{-2x-6}{2*\sqrt{-x^2-6x+40}} } \\ y'= \frac{-2x-6}{2\sqrt{-x^2-6x+40}}} \\ \\ \left \{ {{y'=0} } \right. \\ \\ 0=\frac{-2x-6}{2\sqrt{-x^2-6x+40}}} \\ \\ -2x-6=0 \\ 2x=-6 \\ x=-3$

Sabemos que el centro de la circunferencia tiene coordenada x=3. C(3,Cy). Cy es la ordenada y intermedia entre el máximo y el mínimo de la circunferencia. Para ello, debemos encontrar Ty y Sy:

$y=3 \pm \sqrt{-x^2-6x+40}} \\ y=3 \pm \sqrt{-(-3)^2-6*(-3)+40}}=3\pm \sqrt{-9+18+40}}= \\ =3\pm \sqrt{49}}=3\pm 7} \left \{ {{y=10} \atop {y=-4}} \right.$

2º El máximo de la circunferencia es T(-3,10) y el mínimo es S(-3,-4). El centro de la circunferencia será por tanto el punto intermedio C(-3,3).

3º El radio de la circunferencia es la distancia CT o CS, que es 7 unidades.

Así, el centro de la circunferencia es C(-3,3) y el radio es 7 unidades.