Question

Calcule la suma de los primeros 45 términos de la serie de números siguiente: 35, 45, 55...

Answer 1

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Una progresión aritmética es una secuencia en la que es constante la diferencia entre sus términos consecutivos.

Término general

La fórmula siguiente nos ayuda a encontrar el término ubicado en cualquier lugar de una progresión aritmética:

$\large{\boxed{\mathsf{a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d}}}$

Donde $\mathsf{a_{1}}$ es el primer término de la progresión, $\mathsf{a_{n}}$ es el término enésimo, n es el número de términos, y d es la diferencia (razón).

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Suma de Términos

La suma de términos de una progresión aritmética es igual al producto de la suma del primer y enésimo término con el número de términos, y ello dividirlo entre 2.

$\large{\boxed{\mathsf{S_{n} = \dfrac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}}}}$

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Ejercicio. Calcule la suma de los primeros 45 términos de la serie de números siguiente: 35, 45, 55...

Primero, debemos hallar el término que se encuentra en el lugar 45. Para ello, aplicamos la fórmula del término enésimo o general.

Reconozcamos los datos:

• El primer término es 35
• El número de términos es 45 (queremos hallar el término 45)
• La diferencia es 10, ya que la serie ya de 10 en 10.

Reemplazamos en la fórmula y resolvemos:

$\mathsf{a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d}$

$\mathsf{a_{45} = 35 + (45 - 1) \cdot 10}$

$\mathsf{a_{45} = 35 + (44) \cdot 10}$

$\mathsf{a_{45} = 35 + 440}$

$\boxed{\mathsf{a_{45} = 475}}$

El término 45 es 475.

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Ahora sí, hallamos la suma de términos con la fórmula:

$\mathsf{S_{n} = \dfrac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}}$

$\mathsf{S_{n} = \dfrac{(35 + 475) \cdot 45}{2}}$

$\mathsf{S_{n} = \dfrac{(510) \cdot 45}{2}}$

$\mathsf{S_{n} = \dfrac{22\ 950}{2}}$

$\large{\boxed{\mathsf{S_{n} = 11\ 475}}}$

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Respuesta. La suma de los primeros 45 términos de la serie es 11475.

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Answer 2

La suma de los primeros 45 términos de la serie de números "35, 45, 55..." es igual a 11475.

Para calcular la suma de los números de la serie, se deben utilizar las ecuaciones de una Progresión Aritmética.

¿Qué es una Progresión Aritmética?

Es una sucesión finita de números, donde a cada número se le suma una cantidad constante llamada Diferencia (d) para obtener el siguiente término de la sucesión.

La suma de los "n" primeros términos de una progresión se calcula con la ecuación:

Sn = n * (a₁ + an) * (1/2)

Donde:

• Sn: es la suma de los primeros "n" términos.
• n: es la cantidad de términos a sumar.
• a₁: es el primero término de la progresión.
• an: es el término número "n" de la progresión.

El término "an" se calcula como:

an = a₁ + (n - 1) * d

Donde "d" es la Diferencia, y se puede calcular restando dos términos consecutivos conocidos.

Cálculo de la Diferencia

Se usan los términos 35 y 45.

d = 45 - 35

d = 10

Cálculo del término 45

a₄₅ = a₁ + (45 - 1) * d

a₄₅ = 35 + (44 * 10)

a₄₅ = 475

Cálculo de la Suma de los primeros 45 términos

S₄₅ = 45 * (35 + 475) * (1/2)

S₄₅ = 45 * (510) * (1/2)

S₄₅ = 11475

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