Question

si una de las raíces de la función polinomial p(x)=x4-ax2+5x+b es 2 y p(1) +10= 0 , entonces el residuo de dividir p(x) para (x-3) es:

Answer 1

Calcularemos p(1)+10=

 

$<var>\begin{gathered} P\left( 1 \right) + 10 = {1^4} - a \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + b + 10 \hfill \\ = 1 - a + 5 + b + 10 = a + b + 16 \hfill \\ \end{gathered} </var>$

 

Pero como p(1)+10=0, entonces $<var> b-a</var><var>= -16</var>$.

 

Por teorema del resto (o del resíduo), el resto de dividir un polinomio K(x) por un binomio de la forma (x+a) (esto incluye el caso donde a es negativo) corresponde a evaluar -a en el polinomio K(x):

 

$<var>\begin{gathered} P\left( 2 \right) = {2^4} - a \cdot {2^2} + 5 \cdot 2 + b \hfill \\ = 16 - 4a + 10 + b = 26 - 4a + b \hfill \\ \end{gathered} </var>$

 

Pero como 2 era raíz del polinomio, entonces, la expresión obtenida es igual a cero: 

 

$<var>b - 4a = - 26</var>$

 

Se nos forma ahora un sistema de ecuaciones lineal de dos incógnitas:

 

$<var>\left. \begin{gathered} b - a = 16 \hfill \\ b - 4a = - 26 \hfill \\ \end{gathered} \right\}</var>$

 

Nos resulta que $<var>a = \dfrac{3}{{10}} \wedge b = 6\dfrac{3}{{10}}</var>$

 

Luego reemplazar a y b en la ecuación resultante del teorema del resto y listo!