Question

determinar la ecuación general de la circunferencia tangente a la recta definida por la ecuación 2x-3y+5=0 y cuyo centro el el punto de coordenadas C(-1,-2) 

Answer 1

Como la recta L: 2x-3y+5=0 , es tangente a la circunferencia C de centro c(-1; -2), entonces la distancia D(L; c) es el radio de dicha circunferencia.
Hallamos la distancia D(L;c):

$D(L;c)=| \frac{2(-1)-3(-2)+5}{ \sqrt{2^{2}+(-3)^{2}} }|$

           $=| \frac{-2+6+5}{ \sqrt{4+9} }|$

           $=| \frac{9}{ \sqrt{13} }|$

           $= \frac{9}{ \sqrt{13} }$

Por tanto: $D(L;c)= \frac{9}{ \sqrt{13} }=Radio$

Luego conociendo el radio y el centro, la ecuacion de la circunferencia esta dada por:

$C: (X-(-1))^{2}+(Y-(-2))^{2}=( \frac{9}{ \sqrt{13} })^{2}$

$C: (X+1)^{2}+(Y+2)^{2}= \frac{81}{ 13}$  ...que es la Ecuacion Ordinaria.

Extendemos, operando la Ec. Ordinaria y reduciendo terminos:
  $(X+1)^{2}+(Y+2)^{2}= \frac{81}{ 13}$

  $X^{2}+2X+1+Y^{2}+4Y+4= \frac{81}{ 13}$

  $13(X^{2}+2X+Y^{2}+4Y+5= \frac{81}{ 13})$

  $13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y+65= 81$

  $13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y+65-81=0$

  $13X^{2}+26X+13Y^{2}+52Y-16=0$

Por tanto: 
$C: 13X^{2}+13Y^{2}+26X+52Y-16=0$  ...Que es la Ecuacion General de la                                                                                      Circunferencia