¿ qué trayectoria se lo haríamos el movimiento de la luna con un sistema de referencia situado en el sol?
Respuestas
ummmmm
ya me lDiscusión
das corona plis o corazón
, en el Sol.
Como vemos en la figura, la posición de la Luna, situando el Sistema de Referencia en el Sol es.
x(t)=R·cos(Ωt)+r·cos(ωt)
y(t)= R·sin(Ωt)+r·sin(ωt)
Las componentes de la velocidad son
vx=-RΩ·sin(Ωt)-rω·sin(ωt)
vy=RΩ·cos(Ωt)+rω·cos(ωt)
Las componentes de la aceleración son
ax=-RΩ2·cos(Ωt)-rω2·cos(ωt)
ay=-RΩ2·sin(Ωt)-rω2·sin(ωt)
Como vimos en el estudio del movimiento curvilíneo, la componente normal de la aceleración es.
an=axvy−ayvxv2x+v2y−−−−−−√
La aceleración normal está dirigida hacia el centro de curvatura.
an=−R2Ω3+r2ω3+rRΩω(Ω+ω)cos(Ω−ω)tR2Ω2+r2ω2+2RrΩωcos(Ω−ω)t−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√
El denominador es positivo, ya que es el módulo de la velocidad v. El numerador es positivo para cualquier valor de t si se cumple que
R2Ω3+r2ω3>rRΩω(Ω+ω)
o bien si
(rR−Ω2ω2)(rR−Ωω)>0(x−a2)(x−a)>0
Resolviendo esta inecuación sencilla se encuentra que la desigualdad se cumple (en color rojo en la figura) para
x>a y para x<a2
La aceleración normal no cambia de signo para cualquier valor de t, para rR>Ωω y para rR<Ω2ω2
Para rR<Ω2ω2 se producen cambios de signo en el numerador y por tanto, en la aceleración normal, an. La trayectoria presenta lazos.
Cuando Ωω=rR el numerador y el denominador se anulan a la vez en determinados instantes t, como puede fácilmente adivinarse en la expresión de la aceleración normal. La trayectoria presenta cúspides donde la curvatura no está definida.
an=−RΩ(Ω+ω)(1+cos(Ω−ω)t)2(1+cos(Ω−ω)t−−−−−−−−−−−−−−√)
Los datos del sistema Sol-Tierra-Luna son
La velocidad angular de la Tierra alrededor del Sol es Ω=2π/365 dias-1 y
La velocidad angular de la Luna alrededor de la Tierra es ω=2π/27.3 dias-1
El radio de la órbita de la Tierra es R=1.496·108 km
El radio de la órbita de la Luna es r=3.84·105 km
Con estos datos r/R=0.0026, Ω/ω =0.075, Ω2/ω2=0.0056. Estamos en el caso r/R< Ω2/ω2, o bien, ω2r< Ω2R
La aceleración normal tiene el mismo signo para cualquier valor de t, y apunta hacia el Sol. Esto debe ser así, ya que la fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna es ocho veces menor que la fuerza de atracción del Sol sobre la Luna, la fuerza resultante y por tanto, la aceleración están dirigidos hacia el Sol, la trayectoria de la Luna no puede formar lazos.
Discusión
Cuando la Luna se encuentra en el punto B, las dos aceleraciones debidas al movimiento circular de la Tierra alrededor del Sol y de la Luna alrededor de la Tierra se suman, y apuntan hacia el centro del Sol.
an=Ω2R+ω2r
Cuando la Luna se encuentra en A, las dos aceleraciones tienen signos contrarios
an=Ω2R-ω2r
pero como Ω2R>ω2r la aceleración an sigue apuntando hacia el Sol
De la dinámica del movimiento circular uniforme tenemos que
GMsMTR2=MTΩ2R GMTMLr2=MLω2r
La desigualdad Ω2R>ω2r equivale a
Ω2R>ω2r MSR2>MTr2 r>RMTMS−−−−√
La aceleración debida a la atracción del Sol, supera a la atracción de la Tierra o bien, el radio de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es mayor que el valor crítico RMT/MS−−−−−−−√
Comprobamos si otros satélites de los planetas del Sistema Solar cumplen esta condición
R es el radio de la órbita del planeta alrededor del Sol, supuesta circular,
Ms=1.98·1030 kg es la masa del Sol,
MT es la masa del planeta
r es el radio de la órbita del satélite del satélite alrededor del planeta, supuesta circular
Planeta (Satélite) Datos del planeta Satélite RMT/MS−−−−−−−√ Comentario
Tierra (Luna) MT=5.98·1024 kg
R=1.496·1011 m r=384.4·106 260.0·106 m La Luna "cae" hacia el Sol
Marte (Deimos) MT=6.58·1023 kg
R=2.28·1011 m r=23.46·106 m 131.4·106 m Deimos "cae" hacia Marte
Júpiter (Calisto) MT=1.90·1027 kg
R=7.78·1011 m r=1880·106 m 24122·106 m Calisto "cae" hacia Júpiter
Saturno (Titán) MT=5.69·1026 kg
R=14.27·1011 m r=1222·106 m 24185·106 m Titán "cae" hacia Saturno
Neptuno (Tritón) MT=1.03·1026 kg
R=44.97·1011 m r=394.7·106 m 32410·106 m Tritón "cae" hacia Neptuno
La Luna es el único entre todos los satélites de los planetas cuyo radio de su órbita supera el valor límite RMT/MS−−−−−−−√ , lo que implica que la aceleración debida a la atracción del Sol, es mayor que la debida al planeta que orbita. Decimos que la Luna "cae" hacia el Sol
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