Question

Para un cuerpo en movimiento rectilíneo cuya aceleración está dada por a = 32- 4v, las condiciones iniciales son xo = 0 , vo = 4 y to = 0s. Determine la posición en función del tiempo.

No se que hacer con la variable v. Con las formulas de cinemática.

Answer 1

Veamos.

La aceleración es la derivada de la velocidad, respecto del tiempo.

a = dv/dt = 32 - 4 v; por lo tanto

dt = dv / (32- 4 v); integramos:

t = -1/4 Ln(32 - 4 v) + C

Determinamos la constante de integración de modo que para t = 0,
vo = 4:

0 = -1/4 Ln (32 - 4 . 4) + C;

C = 1/4 Ln(16);

t = - 1/4 Ln(32 - 4 v) + 1/4 Ln(16)

Hay que despejar v

Ln(32 - 4 v) = - 4 t + Ln(16)

32 - 4 v = e^[- 4 t + Ln(16)] = e^(- 4 t) . e^[Ln(16)] = 16 e^(- 4t)

Finalmente v = 8 - 4 e^(- 4 t)

La posición es la derivada de la velocidad respecto del tiempo.

v = dx/dt = 8 - 4 e^(- 4 t)

dx = [8 - 4 e^(- 4 t)[ dt; integramos:

x = 8 t + e^(- 4 t) + C

Nuevamente, para t = 0, x = 0 = 1 + C; C = - 1

Finalmente x = e^(- 4 t) + 8 t - 1)

Adjunto grafica de velocidad y posición respecto del tiempo. La velocidad se estabiliza en v = 8 mientras que x se transforma en una línea recta. Esto quiere decir que para un tiempo de 1,5 segundos (aproximado) el movimiento pasa a ser rectilíneo uniforme. Un ejemplo real de este caso puede ser un automóvil que acelera. Cuando la aceleración se anula (para v = 8) la velocidad es máxima y tenemos movimiento uniforme

Saludos Herminio