Conocida la ecuación de la parábola y = x2 + x – 2, halla:
a. La ecuación de la tangente cuya pendiente es –1.
b. El ángulo que forma con el eje.
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Para encontrar la ecuación que nos da las pendientes de las rectas tangentes a la parábola, debemos derivar y e igualarla a 1.
![y=x^2+x-2 \\ y'=2x+1 \\ \\ 2x+1=1 \\ 2x=0 \\ x=0 y=x^2+x-2 \\ y'=2x+1 \\ \\ 2x+1=1 \\ 2x=0 \\ x=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx%5E2%2Bx-2+%5C%5C+y%27%3D2x%2B1+%5C%5C++%5C%5C+2x%2B1%3D1+%5C%5C+2x%3D0+%5C%5C+x%3D0)
Cuando x es igual a 0, la pendiente de la parábola es 1.
Además, debemos encontrar las coordenadas del punto de tangencia:
![x_{t} =0 \\ \\ y_{t} = (x_{t})^2+ x_{t}-2=0^2+0-2=-2\\ \\ T(0,-2) x_{t} =0 \\ \\ y_{t} = (x_{t})^2+ x_{t}-2=0^2+0-2=-2\\ \\ T(0,-2)](https://tex.z-dn.net/?f=+x_%7Bt%7D+%3D0+%5C%5C++%5C%5C++y_%7Bt%7D+%3D+%28x_%7Bt%7D%29%5E2%2B+x_%7Bt%7D-2%3D0%5E2%2B0-2%3D-2%5C%5C++%5C%5C+T%280%2C-2%29)
Como T es el punto de tangencia entre la parábola y la recta que buscamos, T es un punto perteneciente a la recta.
Debemos encontrar la recta que pasa por (0,-2) y cuya pendiente sea m=1:
![y=mx+n \\ y=1*x+n \\ y=x+n \\ \\ -2=0+n \\ n=-2 \\ \\ \\ y=x-2 y=mx+n \\ y=1*x+n \\ y=x+n \\ \\ -2=0+n \\ n=-2 \\ \\ \\ y=x-2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dmx%2Bn+%5C%5C+y%3D1%2Ax%2Bn+%5C%5C+y%3Dx%2Bn+%5C%5C++%5C%5C+-2%3D0%2Bn+%5C%5C++n%3D-2+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C+y%3Dx-2)
Cuando x es igual a 0, la pendiente de la parábola es 1.
Además, debemos encontrar las coordenadas del punto de tangencia:
Como T es el punto de tangencia entre la parábola y la recta que buscamos, T es un punto perteneciente a la recta.
Debemos encontrar la recta que pasa por (0,-2) y cuya pendiente sea m=1:
Lakitu:
Se me olvidó indicar el ángulo que forma con el eje de coordenadas. Como tiene pendiente -1, se el ángulo es -45º.
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