Usted va a construir una caja rectangular abierta con base cuadrada y un volumen de 48 ft^3. Si el material para la base cuesta $6/ft^2 y el material para los lados cuesta $4/ft^2, ¿Cuáles son las dimensiones que darán por resultado la caja más barata? ¿Cuál es el costo mínimo?
Respuestas
Respuesta dada por:
11
Sea x el lado de la base. Sea y la altura de la caja.
El volumen es V = x² y = 48; de modo que y = 48 / x²
La superficie total de la caja es la superficie de la base más la superficie lateral.
S = x² + 4 x y
El costo es entonces: C = 6 x² + 4 . 4 x y
Reemplazamos y por su valor y resulta:
C = 6 x² + 768 / x
Una función si minimiza si su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico
C' = 12 x - 768 / x² = 0 = (12 x³ - 768) / x² ; por lo tanto x = 4
C'' = 12 + 1536 / x³: para x = 4, C'' es positiva, mínimo
El costo mínimo es C = 6 . 4² + 768 / 4 = 288
Adjunto gráfico de la función costo donde se aprecia el valor crítico de x y el valor mínimo de C.
Saludos Herminio
El volumen es V = x² y = 48; de modo que y = 48 / x²
La superficie total de la caja es la superficie de la base más la superficie lateral.
S = x² + 4 x y
El costo es entonces: C = 6 x² + 4 . 4 x y
Reemplazamos y por su valor y resulta:
C = 6 x² + 768 / x
Una función si minimiza si su primera derivada es nula y la segunda es positiva en el punto crítico
C' = 12 x - 768 / x² = 0 = (12 x³ - 768) / x² ; por lo tanto x = 4
C'' = 12 + 1536 / x³: para x = 4, C'' es positiva, mínimo
El costo mínimo es C = 6 . 4² + 768 / 4 = 288
Adjunto gráfico de la función costo donde se aprecia el valor crítico de x y el valor mínimo de C.
Saludos Herminio
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