La superficie de un polígono regular es 70 u2, determinar el valor del lado del polígono si el número de diagonales totales es cinco veces el número de diagonales por vértice.
Respuestas
El valor del lado del polígono, si el número de diagonales totales es cinco veces el número de diagonales por vértice, es : L = 3.017 u
Para calcular el lado del polígono se determina primero el numero de lados del polígono y luego se expresa el apotema en función de la longitud de cada lado y por último se despeja el lado de la fórmula del área del polígono, de la siguiente manera:
A= 70 u2
L = ?
Nd = 5*nd
Siendo :
Nd = el número total de diagonales
nd = el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice
Nd = n*(n-3)/2 ; nd = n-3
Entonces :
Nd=5*nd
n*(n-3)/2 =5*(n-3)
n = 10 es un decágono
La fórmula del área de un polígono es: A = n*a*L/2
ángulo central : 10*α = 360º
α=36º
El decágono esta formado por 10 triángulos isósceles, entonces :
tan (36º/2) = L/2 /ap
ap = (L/2)/tan18º
ap = 1.538L apotema
Entonces : A = n* 1.538L *L/2 , de donde :
L = √(2*A)/(n*1.538)
L = √(2*70)/(10*1.538)
L = 3.017 u