Question

Un batidor industrial de pastelería gira con MCUV, a razón de 12π rad/s. La
máquina es un poco antigua por lo que sufre un percance y se detiene luego de
8s. ¿Cuál es desplazamiento angular de la máquina en los últimos 8s que duró
su movimiento?

Answer 1

El desplazamiento angular de la máquina en los últimos 8 segundos que duró su movimiento es de 48π radianes

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

Solución

Calculamos la aceleración del batidor

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} -\omega_0}{t}}}}}$

Donde      

${\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 12\pi \ rad/s }}$

${\textsf{Tiempo en deternerse } \ \ \ \bold { t = 8 \ s }}$

${\textsf{Velocidad angular final } \ \ \ \bold { \omega_{f} = 0 }}$

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_{f} - \omega_0} {t}}}}$

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{0-12\ \pi \;rad/s}{8\;s} }}}$

$\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{-12\ \pi \;rad/s}{8\;s} }}}$

$\large\boxed{\bold{\alpha= \dfrac{-3\ \pi }{2 }\ rad/s^2}}}$

La aceleración angular es negativa, por tanto, el desplazamiento angular ocurre más lento según transcurre el tiempo. El cuerpo está desacelerando y se detiene

Hallamos el desplazamiento angular θ antes de detenerse a los 8 segundos

El ángulo recorrido θ en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

$\large\boxed {\bold { \theta = \omega_{0t}+ \frac{1}{2} at^{2} }}$

Con la aceleración hallada calculamos el desplazamiento angular

$\boxed {\bold { \theta = \ ( 12\ \pi \ rad/s )(8 \ s )+ \frac{1}{2} \left(-\frac{3\ \pi }{2} \ rad/s^{2}\right) (8 \ s)^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \ ( 12\ \pi \ rad/s )(8 \ s )+ \frac{1}{2} \left(-\frac{3\ \pi }{2} \ rad/s^{2}\right) (64 )\ s^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \ 96\ \pi \ rad - \frac{3\ \pi }{4} \ rad/s^{2}\ . \ 64 \ s^{2} }}$      

$\boxed {\bold { \theta = \ 96\ \pi \ rad + \frac{-3\ \pi }{4} \ rad/s^{2}\ . \ (4\ (16)) \ s^{2} }}$

$\boxed {\bold { \theta = \ 96\ \pi \ rad -3\ \pi \ rad\ . \ 16 }}$

$\boxed {\bold { \theta = \ 96\ \pi \ rad -48\ \pi \ rad }}$

En forma exacta:

$\large\boxed {\bold { \theta =48\ \pi \ rad }}$

En forma decimal:

$\large\boxed {\bold { \theta =150,796447 \ rad }}$

El desplazamiento angular de la máquina antes de detenerse es de 48π radianes