Question

Un campo rectangular, uno de cuyos bordes limita con un río en línea recta va

a ser cercado con 800 m de alambre. Si no se necesita cercar a lo largo del río,

calcular las dimensiones que debe tener de tal manera que el área del campo

sea máxima.

es un problema de optimización, por favor ayuda.​

Answer 1

En los términos planteados el campo rectangular debe tener 200 metros de ancho y 400 metros de largo

Solución

Se desea maximizar el área A de un campo rectangular, donde llamaremos variable x a su ancho y variable y a su largo

Expresando el área A en términos de x e y

$\large\boxed{\bold { \'Area= x \ . \ y }}$     $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

Donde sabemos que se cuentan con 800 metros de alambre para cercar el campo, y como un lado no necesita ser cercado ya que el terreno tiene de borde a un río

Expresamos el perímetro P de la siguiente manera:

$\large\boxed{\bold { Per\i'metro = 2x \ + \ y = 800 }}$   $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Donde lo igualamos a 800 dado que sabemos la cantidad de alambre con la cual va a ser cercado

Como se desea optimizar el área

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed{\bold { P = 2x \ + \ y = 800 }}$

Despejamos a y para dejar la expresión sólo en términos de x en la primera ecuación

Obteniendo

$\large\boxed{\bold { y = 800 -2x }}$   $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Sustituimos en $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed{\bold { \'Area= x \ . \ y }}$

El valor de y según $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed{\bold { \'Area= x \ . \ (800 -2x) }}$

$\large\boxed{\bold { \'Area= 800x \ -2x^{2} }}$

Donde derivamos el área

$\boxed{\bold { \frac{d A}{dx} = 800 \ -4x = 0 }}$

$\large\boxed{\bold { 800 \ -4x = 0 }}$

A partir de la última expresión hallamos los números críticos

Resolviendo la ecuación

$\large\boxed{\bold { 800 \ -4x = 0 }}$

$\boxed{\bold { -4x = -800 }}$

$\boxed{\bold { x = \frac{-800}{-4} }}$

$\large\boxed{\bold { x = 200 \ metros} }}$

En

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

Hallamos el valor de y

$\large\boxed{\bold { P = 2x \ + \ y = 800 }}$

Reemplazando el valor hallado de x

$\large\boxed{\bold { 2x \ + \ y = 800 }}$

$\boxed{\bold { 2\ . \ (200) \ + \ y = 800 }}$

$\boxed{\bold { 400 \ + \ y = 800 }}$

$\boxed{\bold { y = 800 - 400 }}$

$\large\boxed{\bold { y =400 \ metros }}$

En los términos planteados el campo rectangular debe tener 200 metros de ancho y 400 metros de largo