Para cada inciso, encuentre la gráfica resultante y las soluciones que indica:
a) Calcula el ángulo que forman los vectores ⃗ = (2, 1, 1) y ⃗⃗ = (–1, 1, 1), aplicando la
fórmula del coseno y seno (valide que ambos resultados son los mismos).
b) ¿Cuánto debe valer “a” para que los vectores ⃗⃗ = (2, , 1) y ⃗⃗⃗ = (– 1,, 1) sean
perpendiculares.
Respuestas
Respuesta:
Problema 8.
El ancho de una arco de f´utbol es de 4 m y su altura 2,4 m. Para lanzar un penal la pelota se sit´ua a 10,8 m
de la porter´ıa y a igual distancia de los postes.
a) Calcule el ´angulo m´aximo de elevaci´on que puede llevar la pelota para que pase por debajo del larguero.
b) Calcule el ´angulo m´aximo barrido horizontalmente para poder meter gol (la pelota pasa entre los postes).
Soluci´on:
a) La situaci´on puede representarse mediante un tri´angulo rect´angulo en donde BC es la altura del arco y AC
la distancia a la cual se lanza el penal.
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Lo que se nos pide se traduce en calcular el ´angulo A. Luego,
tg(A) =
BC
AC =
2, 4
10, 8
= 0, 222 −→ A = 12, 53◦
b) Nuevamente podemos representar el problema gr´aficamente, considerando el ancho del arco y el punto A
del cual se lanza el penal.
Se nos pide calcular el ´angulo A. Dividimos el tri´angulo en su mitad por dos tri´angulos rect´angulos iguales.
Luego, la raz´on trigonom´etrica de la tangente nos indica:
tg
A
2
!
=
2
10, 8
−→
A
2
= 10, 49◦ −→ A = 20, 98◦
Problema 9.
Dados los puntos O = (0, 0), P = (−1, 1), A = (3, 3) y B = (2, 4) calcule el vector ~v que va de O a P y el
vector ~w que va de A a B. Explique la relaci´on entre ambos vectores.
Soluci´on:
~v =
−−→OP = P − O = (−1, 1) − (0, 0) = (−1, 1)
~w =
−−→AB = B − A = (2, 4) − (3, 3) = (−1, 1)
La relaci´on entre ~v y ~w es que son el mismo vector ubicado en distintos puntos del plano. Es decir, son el mismo
vector desplazamiento ya que ambos se miden desde el origen.
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Problema 10.
Transforme los siguientes valores en grados sexagesimales a radianes
1) 316◦
2) 10◦
3) 127◦
Soluci´on:
Tenemos que entender que π rad=180◦
, con esto utilizamos la regla de tres para calcular el valor equivalente α
en radianes
1) 316◦
π
α
=
180
316
−→ α =
79π
45
rad
2) 10◦
π
α
=
180
10
−→ α =
π
18
rad
3) 127◦
π
α
=
180
127
−→ α =
127π
180
rad
Problema 11.
Se sabe que el ´angulo con el que la pelota rebota en la pared es el mismo con el que incide. Determine la
direcci´on y sentido de la resta de las velocidades final (V2) e inicial (V1).
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Soluci´on:
Primero realizamos un esquema para visualizar los vectores de las velocidades.
Luego, geom´etricamente vemos la resta V2-V1
Finalmente, la direcci´on y el sentido de la resta viene dada por
Problema 12.
Se presenta una fuerza F~ aplicada sobre un objeto ubicado en el origen del plano cartesiano. Calcule la fuerza
vertical y horizontal que se efect´uan sobre dicho objeto.
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Soluci´on:
En la figura se presenta el m´odulo del vector:
|F~ | = 20
Y el ´angulo que la fuerza forma con el eje horizontal es:
α = 30◦
Las componentes vienen dadas por las proyecciones del vector:
Fx = |F~ | cos(30◦
)
= 20
√
3
2
= 10√
3
Fy = |F~ | sin(30◦
)
= 20
1
2
Explicación: