Question

Calcula las dimensiones del rectangulo cuya area es 30 y perimetro 22.

Answer 1

Fórmula para calcular el área de un rectángulo:

xy = 30  ("x" e "y" son los lados que no conocemos)


Fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo:

2x+2y = 22


Tenemos 2 variables, eso significa que tenemos que plantear un sistema de ecuaciones:

Podemos tomar a "x" como la base y a "y" como la altura, o viceversa:

xy = 30
2x+2y = 22

A este sistema lo voy a resolver por el método de igualación.


Para comenzar, primero hay que despejar una variable, voy a despejar "y":

xy = 30
y = 30/x


2x+2y = 22
2y = 22-2x
y = (22-2x)/2


Igualamos lo que está en negrita y resolvemos:

30/x = (22-2x)/2
30/x = 22/2-2x/2
30/x = 11-x
30 = x(11-x)
30 = 11x-x² <--- Igualo la ecuación a "0"
x²-11x+30 = 0

Me quedó una ecuación cuadrática, eso significa que resolviendo esto voy a tener no solo el posible valor de "x", sino también el posible valor de "y", porque siempre las ecuaciones cuadráticas tienen 2 posibles resultados, pero también puede pasar que esos 2 resultados sean iguales o que un resultado sea negativo, cosa que en este problema no tendría sentido una medida negativa y habría que hacer un paso más. Para resolver esto aplico la fórmula llamada Resolvente.

Resolvente:

-b±√(b²-4ac)
      2a


Sabiendo esta fórmula resolvemos:

x²-11x+30 = 0
a   b     c

a = 1
b = -11
c = 30


-(-11)±√((-11)²-4*1*30) =
          2*1

11±√(121-120) =
          2

11±√1 = 
    2

--> 11+1 = 12/2 = 6  <--- Si "x" vale 6, "y" vale 5
        2       

--> 11-1 = 10/2 = 5  <--- Si "x" vale 5, "y" vale 6
        2


Como te darás cuenta, si la base mide 5, la altura mide 6, o viceversa.

RTA: Las dimensiones del rectángulo son de 5x6.


Terminamos.


Comprobamos que esté bien hecho todo lo que hicimos:

xy = 30
5*6 = 30
30 = 30

2x+2y = 22
2*5+2*6 = 22
10+12 = 22
22 = 22

Con esto comprobamos que lo hicimos bien.


Saludos desde Argentina.