Question

4.- Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica y general, longitud del
lado recto y ecuación de la directriz, cuyo vértice se localiza en el punto V(5,-3) y el
foco F(3,-3).​

Answer 1

Espero aún te sea de utilidad esta respuesta.

Tenemos estos datos: V(5,-3) y F(3,-3)

Si vamos graficando esos puntos en el plano, nos damos cuenta que es una parábola horizontal que abre hacia la izquierda. La cual tiene su ecuación canónica de la siguiente forma:

(y-k)² = -4p(x-h)

Donde:

V(h,k) es el vertice

4p es la longitud del lado recto

Teniendo esto en cuenta podemos ir armando la ecuación canónica, sustituyendo los valores del vertice que nos dan.

(y-(-3))² = -4p(x-(5))

(y+3)² = -4p(x-5)

Ahora bien, p es la longitud entre el foco y el vértice. Como se trata de una parábola horizontal, calculamos la distancia entre las coordenadas x del foco y el vértice:

p = h - Fx (donde Fx es la coordenada en x del foco)

p = 5 - 3

p = 2

entonces, ya de entrada podemos calcular la longitud del lado recto y terminar de armar la ecuación canónica y armar la general.

LR = 4p

LR = 4(2)

LR = 8

Entonces:

(y+3)² = -8 (x-5)

Para hallar la ecuacion general solo debemos desarrollar lo que sea necesario(productos notables, distributivas , etc):

y²+6y+9 = -8x +40

y²+6y+9+8x-40 = 0

y² + 6y + 8x - 31 = 0

Para terminar la directriz se calcula de la siguiente manera:

Sabemos que la directriz se ubica a p unidades del vertice. Es decir, la misma distancia del foco al vertice es la misma del vertice a la directriz.

Como es una parabola horizontal la ecuacion de la directriz tendra la siguiente forma:

x = n donde n es un numero

Entonces:

x = h + p (este razonamiento se cumple para este tipo de parabolas solamente)

x = 5 + 2

x = 7

graficamente seria asi: