1. Una elipse con centro en el origen tiene uno de sus vértices en el punto V(5,0) y uno
de sus focos en el punto F(3,0). Determina lo siguiente:
a) Las coordenadas del vértice y el foco restantes
b) Las coordenadas de los extremos del eje menor
c) Su excentricidad
d) La longitud de sus lados rectos
e) La ecuación de la elipse
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Si tenemos una elipse con centro en el origen y que tiene uno de sus vértices en el punto V(5,0) y uno de sus focos en el punto F(3,0), entonces:
- Las coordenadas de del vértice y el foco restante son (-5,0) y (-3,0) respectivamente.
- Las coordenadas de los extremos del eje menor son (0,4) y (0,-4).
- La excentricidad es 3/5
- Longitud de sus lados rectos es 32/5
- La ecuación de la elipse es x²/25+ y²/16=1
Ecuación de una elipse
Si el centro de la elipse es (h,k), con a>b y a²=b²+c² entonces la ecuación ordinaria de la elipse es:
- Si está situada horizontalmente (x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1
- Si está situada verticalmente: (x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1
Elipse con centro en (0,0), vértice (5,0) y foco (3,0)
- Coordenadas del vértice y foco restantes:
Como el centro es (0,0) entonces cada vértice y cada foco tendrán las mismas coordenadas pero con signos opuestos para la coordenada en x. Entonces: (-5,0) es la coordenada del otro vértice y (-3,0) es la coordenada de otro foco.
- Coordenadas de los extremos del eje menor:
Recordemos que la distancia que hay entre el centro y entre los extremos del eje menor es igual a b.
La distancia del centro al foco es c, entonces c = 3
La distancia del centro al vértice es a, así a =5
Como a²=b²+c², entonces:
b²=a²-c²
b²=5²-3²
b²=25-9
b²=16
b=4
Entonces las coordenadas de los extremos del eje menor son (0,4) y (0,-4).
- Su excentricidad es:
Recordemos que la fórmula de la excentricidad es e=c/a entonces:
e = 3/5
- Longitud de sus lados rectos:
Recordemos que el lado recto es el segmento de recta que pasa por el foco de manera paralela al eje menor y corta la elipse en dos puntos, La formula para calcular las coordenadas de estos dos puntos son (ver imagen adjunta):
P1(c, b²/a) y P2(c, b²/a) ⇒ P1(3, 16/5) y P2(3, -16/5)
Así, la longitud de sus lados rectos es; 16/5+16/5 = 32/5
- Ecuación de la elipse
Graficando los puntos que corresponden al centro, vértice y foco, podemos ver que es una elipse que está situada horizontalmente, así la ecuación de la elipse es:
(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1 ⇒ (x-0)²/5²+(y-0)²/4²=1 ⇒ x²/25+ y²/16=1
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