Question

Hola, el tema en que necesito ayuda es en desigualdades especiales , este es el ejercicio:

sean a, b ,c numeros reales poitivos tales que a+b+c= 1 muestre que ;
(1/a-1) (1/b-1) (1/c-1) mayor o igual a 8.

ese es el problema muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Veamos:

$\frac{1}{a}-1= \frac{1-a}{a}=\frac{b+c}{a}$

 sin más que utilizar la igualdad dada a+b+c=1.
Usando el mismo resultado para los otros dos factores obtenemos:
$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)= \\ \frac{b+c}{a}\cdot\frac{a+c}{b}\cdot\frac{a+b}{c}$

Ahora haciendo uso de la conocida desigualdad entre la media aritmética y la geométrica: $\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$

$\frac{b+c}{a}\cdot\frac{a+c}{b}\cdot\frac{a+b}{c} \geq \\ \frac{2 \sqrt{bc} }{a}\cdot\frac{2 \sqrt{ac} }{b} \cdot\frac{2 \sqrt{ab} }{c} = \\ =8\cdot \frac{ \sqrt{a^2b^2c^2} }{abc}=8$

Visita dudamat.es