Question

Si a un polígono se le aumenta en 4 el número de lados, entonces la suma de sus ángulos internos se duplica. Hallar el número de vértices del polígono regular.

Answer 1

Según la fórmula:
$\alpha _{interno} =180*(n-2)$
Donde $\alpha$ es el valor del ángulo interno de un polígono y $n$ es el número de lados que tiene.

Ahora, si partimos de un polígono cualquiera, sus ángulos internos son:

$\alpha _{1} =180*(n-2)$

Si aumentamos en 4 el número de lados, sus ángulos se duplican:
$2*\alpha _{1} =180*((n+4)-2) 2\alpha _{1}=180*(n+2) 2\alpha _{1}=180n+360$

Si juntamos esta última ecuación con la primera:
$\left \{ {{\alpha _{1}=180*(n-2)} \atop {2\alpha _{1}=180*n+360}} \right.$

Así, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$\left \{ {{\alpha _{1}=180n-360} \atop {2\alpha _{1}=180n+360}} \right.$

Resolviendo el sistema por reducción (restamos las dos ecuaciones):
$-\alpha _{1}=-720 \alpha _{1}=720$

Despejando n de la primera ecuación:
$720=180n-360 1080=180n n=1080/180 n=6$

El polígono que tiene n lados es un hexágono. Si se aumenta sus lados en 4, obtenemos un decágono, que tiene 10 lados.

Como el número de vértices de un polígono es el mismo que el número de lados, el polígono que obtendremos tiene 10 vértices también.

Answer 2

El número de vértices que tiene el polígono es igual a 6 vértices

¿Cómo calcular la suma de los ángulos internos de un polígono de "n" lados?

Si un polígono tiene un total de "n" lados, entonces la suma de los ángulos internos es igual a:

Suma = 180°*(n - 2)

Cálculo de cantidad de lados y vértices del polígono

Si el polígono tiene "n" lados, entonces la suma de sus ángulos internos es igual a 180°*(n - 2) y si tiene n + 4 (aumenta 4) entonces la suma es: 180°*(n + 2), pero tenemos que también es el doble de la cantidad anterior:

180°*(n + 2) = 360°*(n - 2)

n + 2 = 2*(n - 2)

n + 2 = 2n - 4

2 + 4 = 2n - n

n = 6

Si el polígono tiene 6 lados entonces tiene 6 vértices

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