Question

hallar mn,si la siguiente division es exacta ayúdeme ​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                  Teorema del Resto

"Sea a un numero y P(x) un polinomio.  La evaluación o valor numérico de P(x) en x= a es igual al resto de dividir a P(x) por el polinomio D(x)= x - a"

Si tenemos un polinomio de la forma D(x)= x + a, lo podemos expresar como D(x)= x-(-a) y deberemos evaluar en x= -a

Vamos al ejercicio

$\frac{x^{4}+3x^{3}-5x^{2} +mx-n }{x^{2}+x-2 }$

Factorizamos el denominador:

$\frac{x^{4}+3x^{3}-5x^{2} +mx-n }{(x-1)(x+2)}$

Si igualamos a cero el denominador tenemos:

$x-1=0$

$x=1$

$x+2=0$

$x=-2$

Ahora bien por el teorema del resto, podemos evaluar a cero cada expresión.

En x=1

$1^{4} +3(1)^{3} -5(1)^{2} +m-n=0$

$1+3-5+m-n=0$

$-1+m-n=0$   Ecuación 1

Como la división es exacta, se iguala a 0

En x= -2

$(-2)^{4} +3(-2)^{3}-5(-2)^{2} -2m-n=0$

$16-24-20 -2m -n=0$

$-28-2m-n=0$ Ecuación 2

Resolvemos ese sistema de ecuaciones con 2 incógnitas por el método de reducción

Restamos La ecuación 1 con la ecuación 2, es decir:

Ecuación 1 - Ecuación 2

$-1+m-n=0\\28+2m+n=0\\...........................................\\27 +3m=0$

$m= -9$

Reemplazo "m" en ecuación 1

$-1 -9-n=0$

$n= 10$

Ya tenemos los valores de m y n, si veo bien el ejercicio nos pide "mn", es decir su producto

$m*n= -9*10=-90$  Solución

Saludoss

Answer 2

Para que la división sea exacta entonces m = -9 y n = - 10

¿Cómo encontrar los valores para que la división sea exacta?

Debemos realizar la división de polinomios como se realiza naturalmente y determinar los valores de manera que la división sea exacta, entonces procedemos:

Procedemos a realizar la división

       x⁴ + 3x³ - 5x² +  mx - n      |   x² + x - 2

    - (x⁴ + x³ - 2x²)                           x² + 2x -5

________________

           2x³ - 3x² + mx - n

       - (2x³ + 2x² - 4x)

_____________________

                  -5x² + (m + 4)x - n

              - (-5x² - 5x + 10)

______________________

                          (m + 4 + 5)x - n - 10

Entonces para que la división sea exacta:

m + 4 + 5 = 0

m + 9 = 0

m = - 9

- n - 10 = 0

n = - 10

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