Respuestas
¿Qué es un pentágono?
Un pentágono es un polígono formado por 5 lados, 5 vértices y 5 ángulos internos. El pentágono puede ser de forma geométrica regular o irregular.
Vértice
Lado
Ángulo
Pentágono regular
El pentágono regular se caracteriza por tener cinco lados de igual longitud y cada uno de sus ángulos internos tiene la misma medida.
a
a
a
a
a
108°
108°
108°
108°
108°
Ángulos de un pentágono regular
En un polígono se contemplan principalmente dos tipos de ángulos: los ángulos interiores y los exteriores.
Ángulos interiores del pentágono regular: Para calcular el total de la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular se emplea la siguiente fórmula:
180°(n – 2)
Donde "n" representa la cantidad de lados.
Ya que el polígono es de 5 lados, la suma de los ángulos interiores será 540°.
180°(5 – 2) = 540°
Para calcular el valor de cada ángulo únicamente debemos dividir 540°/n = 540/5 = 108, de forma directa la fórmula será:
180°(n – 2)
n
Donde "n" representa la cantidad de lados.
180°(5 – 2)
5
= 108°
Ángulos exteriores del pentágono regular: La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, teniendo en consideración que la suma del ángulo interior y el exterior es de 180°.
La fórmula para calcular el ángulo exterior será:
360°
n
Donde "n" representa la cantidad de lados.
El ángulo exterior será de:
360°
5
= 72°
Al sumar el ángulo interior con el ángulo exterior se puede comprobar que el resultado es de 180°:
108° + 72° = 180°
72°
108°
Nota: Conociendo el ángulo interior o exterior del pentágono regular es posible realizar una resta a 180° para conocer el otro ángulo.
Perímetro del pentágono regular
Al tener los 5 lados de la misma longitud es posible simplificar la fórmula:
Perímetro = 5(a)
a
a
a
a
a
Donde "a" representa la longitud de cada lado.
Apotema del pentágono regular
La apotema es la menor distancia entre el centro del pentágono y cualquiera de sus lados.
Apotema
A continuación se muestra dos procedimientos y las fórmulas correspondientes para obtener el valor de la apotema, considerando los siguientes datos de la figura:
Ap
a
r
α
a es la longitud de un lado.
r es el radio de la circunferencia circunscrita, en otras palabras, longitud del centro a un vértice.
Ap es la longitud de la apotema.
α es el ángulo central, corresponde al ángulo entre las dos líneas que unen el centro del pentágono con dos vértices consecutivos.
Dependiendo de las variables disponibles podemos emplear una fórmula.
Primeramente de la figura se hace un recorte para obtener el siguiente triángulo rectángulo:
Ap
a/2
r
α/2
Resolviendo por el teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, por lo tanto, la fórmula quedaría:
Ap2 + (a/2)2 = r2
Lo que interesa encontrar es la apotema, realizando el despeje con respecto a “Ap”, la fórmula será:
Ap = √r2 – (a/2) 2
Resolviendo por funciones trigonométricas: Primeramente se debe calcular el ángulo central, se debe dividir 360° entre los números de lados, por lo tanto, el ángulo central es:
α =
360°
5
= 72°
Nota: Considerar que en el triángulo rectángulo se emplea la mitad del ángulo central. α/2 = 36°
Mediante la función tangente que corresponde:
Tan(x) =
Cateto opuesto
Cateto adyacente
Sustituyendo las variables de la figura correspondiente al triángulo rectángulo se tiene:
Tan(α/2) =
a/2
Ap
Despejando la anterior ecuación con respecto a la apotema:
Ap =
a/2
Tan(α/2)
Considerando que en todo pentágono regular el ángulo central no varía y reacomodando la anterior ecuación, se tiene:
Ap =
a
2Tan(36)
=
a
2(0.72654253)
Nota: El valor de tan (36°) = 0.72654252800536088589546675748062 fue redondeado.
Por lo tanto, la fórmula para encontrar la apotema será:
Ap =
a
1.45308506
También se puede emplear de la siguiente manera:
Ap = (0.688191)(a)
Área del pentágono regular
El área se calcula mediante la siguiente fórmula:
Área =
(n)(a)(Ap)
2
Donde:
n es la cantidad de lados.
a es la longitud de uno de los lados.
Ap es el valor de la apotema.
Es posible simplificar al sustituir el perímetro = 5(a), por lo tanto, la fórmula será:
Área =
(perímetro)(Ap)
2
También dada la fórmula de la apotema Ap = a/1.45308506 y conociendo la cantidad de lados, podemos sustituir en la fórmula del área y simplificar:
n es el número de lados.
Pentágono irregular
El pentágono irregular es cuando uno o varios de sus lados o ángulos son de diferente medida.
Ya que los lados del pentágono irregular pueden ser todos o únicamente uno distinto, es necesario realizar la sumatoria de cada lado.
Perímetro = a + b + c + d + e
Donde a, b, c, d y e son los lados del pentágono irregular.
El método más común para calcular el área de un pentágono irregular consiste en dividir en cinco triángulos y calcular el área de cada uno, posteriormente realizar la suma del área de cada triángulo para obtener el área del pentágono irregular
(5)(a)(a)
2(1.45308506)
= 1.7204774(a2)
Para la anterior ecuación, únicamente tenemos de variable “a” que corresponde a la longitud de cada lado.
Nota: Dependiendo de la variable deseada se realizan los despejes o sustituciones que son necesarias para simplificar la ecuación.
Cantidad de Diagonales en un pentágono
El pentágono tiene 5 diagonales.
Empleando la fórmula para calcular la cantidad de diagonales:
Nd =
n(n – 3)
2
=
5(5 – 3)
2
= 5
Donde: