En la central de autobuses del norte de la ciudad de México, hay un nicho para los
feligreses de la Virgen de Guadalupe, este tiene un círculo en su base de aproximadamente
5 m de diámetro. Considera esta circunferencia para determinar lo siguiente:
a) Sí pusiéramos un plano cartesiano con el origen en el centro de la circunferencia.
¿Cómo es su ecuación ordinaria?
b) Sí pusiéramos el plano cartesiano tangente a la circunferencia, pero en el tercer
cuadrante. ¿Cómo es su ecuación ordinaria?
c) Sí pusiéramos el plano cartesiano en el cuarto cuadrante, quedando el centro
de la circunferencia del nicho a 5 metros del origen del plano cartesiano y a 4
metros de las ordenadas. ¿Cómo es su ecuación?
Respuestas
Vamos a construir la ecuación de la circunferencia:
(x - h)² + (y - k)² = r²
donde:
(h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia
r es el radio
Explicación paso a paso:
Sabemos que la circunferencia tiene un diámetro de 5 m, por lo tanto su radio es de 5/2 m.
Vamos a construir la ecuación de la circunferencia:
(x - h)² + (y - k)² = r²
donde:
(h, k) son las coordenadas del centro de la circunferencia
r es el radio
a) Sí pusiéramos un plano cartesiano con el origen en el centro de la circunferencia. ¿Cómo es su ecuación ordinaria?
(h, k) = (0, 0) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = 5/2 es el radio.
(x - 0)² + (y - 0)² = (5/2)² ⇒ x² + y² = 25/4 ⇒
x² + y² - 25/4 = 0
b) Sí pusiéramos el plano cartesiano tangente a la circunferencia, pero en el tercer cuadrante. ¿Cómo es su ecuación ordinaria?
Dado que la circunferencia debe estar en el tercer cuadrante y ser tangente al eje x y al eje y, podemos ubicar el centro de la misma en un punto de coordenadas (-radio, -radio); es decir, un punto del tercer cuadrante que dista de cada eje una distancia igual al radio.
Esto garantiza que la circunferencia hará tangencia con cada uno de los ejes coordenados; así que:
(h, k) = (-5/2, -5/2) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = 5/2 es el radio.
Vamos a construir la ecuación de la circunferencia:
(x - 5/2)² + (y - 5/2)² = (5/2)² ⇒ (x - 5/2)² + (y - 5/2)² = 25/4 ⇒
x² + y² - 5x - 5y - 25/4 = 0
c) Sí pusiéramos el plano cartesiano en el cuarto cuadrante, quedando el centro de la circunferencia del nicho a 5 metros del origen del plano cartesiano y a 4 metros de las ordenadas. ¿Cómo es su ecuación?
(h, k) = (4, -5) son las coordenadas del centro de la circunferencia.
r = 5/2 es el radio.
Vamos a construir la ecuación de la circunferencia:
(x - 4)² + (y - (-5))² = (5/2)² ⇒ (x - 4)² + (y + 5)² = 25/4 ⇒
x² + y² - 8x + 10y + 131/4 = 0