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Respuesta:
Definición. Una serie geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.
Series Geométricas
Objetivos:
Distinguir una serie geométrica y calcular su término general.
Realizar las suma de términos de las series geométricas.
Deducir que el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.
Hallar la suma y el producto de n términos consecutivos de una serie geométrica.
Definición:
Definición. Una serie geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que se representa por r.
Término general.
Según la definición anterior, en la serie geométrica a1, a2, a3, a4, a5,..., an, se verifica:
a2 = a1 · r
a3 = a2 · r = a1 · r · r = a1 · r 2
a4 = a3 · r = a1 · r 2 · r = a1 · r 3
Generalizando este proceso se obtiene el término general:
a n = a 1 r n - 1
Producto de los primeros n términos.
Observemos que en la serie geométrica:
3, 6, 12, 24, 48
el producto de los términos extremos es:
3 · 48 = 144
y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.
En general, en una serie geométrica finita se verifica:
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
En una serie geométrica finita, el producto de los términos equidistantes de los extremos es igual al producto de los extremos.
Vamos a utilizar este resultado para calcular la fórmula del producto de n términos consecutivos de una serie geométrica. Llamemos Pn al producto de los n términos y escribamos el producto dos veces, invirtiendo los factores en una de ellas.
P n = a 1 · a 2 · … · a n - 1 · a n
× P n = a n · a n - 1 · … · a 2 · a 1
Multiplicando las dos igualdades resulta: P n 2 = a 1 · a n · a 2 · a n - 1 · … · a n - 1 · a 2 · a n · a 1
Como hay n paréntesis y el valor de cada uno es (a1 · an) se tiene:
P n 2 = a 1 · a n · a 1 · a n · … · a 1 · a n · a 1 · a n = a 1 · a n 2
de donde:
P n = a 1 · a n n
Suma de los primeros n términos.
Si queremos calcular la suma de los términos de la serie geométrica finita a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón.
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Sn· r = a1· r + a2· r + ... + an-1· r + an· r
Ahora restamos Sn· r - Sn teniendo en cuenta que a1· r = a2, a2· r = a3, etc.
Sn· r - Sn = an· r - a1 → Sn· (r - 1) = an· r - a1,
de donde:
S n = a n · r - a 1 r - 1
Usando la expresión del término general de una serie geométrica an = a1· rn, se puede obtener la fórmula de la suma en función de a1 y r así:
S n = a 1 · r n - 1 r - 1
Ejemplos: Las siguientes son series geométricas
s = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + 1 3 2 es geométrica, pues cada término sucesivo se obtiene al multiplicar el anterior por 1 2 1 2 s = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 1 6 + 1 3 2 + 1 6 4
Para el término general:
a n = a 1 r n - 1 ⟶ a 6 = 1 2 r 6 - 1 ⟶ 1 64 = 1 2 r 5 ⟶ 1 32 = r 5 ⟶ 1 2 = r
Para el producto de los primeros n términos:
P n = a 1 · a n n ⟶ P 6 = 1 2 · 1 64 6 ⟶ P 6 = 1 128 6 ⟶ P 6 = 1 128 3 ⟶ P 6 = 1 2097152
Para la suma de los primeros n términos:
S n = a n · r - a 1 r - 1 ⟶ S 6 = 1 64 · 1 2 - 1 2 1 2 - 1 ⟶ S 6 = 1 128 - 1 2 - 1 2 ⟶ S 6 = 1 - 64 128 - 1 2 ⟶ S 6 = - 63 128 - 1 2 ⟶ S 6 = 126 128
Dada la suma de la serie geométrica:
s = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
La razón común de esta serie es 2. Multiplicando por 2 cada término, se obtiene:
2 · s = (1 · 2) + (3 · 2) + (5 · 2) + (7 · 2) + (9 · 2) + (11 · 2) + (13 · 2)
2 · s = 2 + 6 + 10 + 14 + 18 + 22 + 26
Para el término general:
a2 = a1 · r ⟶ 6 = 2 · 2
No se cumple para el primer término, por lo tanto no es una serie geométrica
Lee esto y seguro lo entenderás.