Question

El número de habitantes de un pueblo crece exponencialmente según P(t)=Po.e^kt siendo k la tasa relativa de crecimiento, t el tiempo en años y Po la población inicial. Determina la tasa relativa de crecimiento, si en 8 años la población aumentó en un 20%​

Answer 1

Tema: Ecuaciones diferenciales

$\boxed{k=\frac{ln|1.2|}{8} }$

Explicación paso a paso:

La ecuación diferencial que plantea el problema es:

$P(t)=P_o\times e^{kt}$

siendo:

• $k$= tasa relativa
• $P_o$ = población inicial
• $t$ = tiempo

Y además se nos dice que en 8 años la población aumento un 20%. Este dato es el que nos será de especial interés.

Es importante saber que el 20% extra de una cantidad equivale a multiplicar esa cantidad por 1.2 (puedes comprobarlo fácilmente), de acuerdo a esto, la población despúes de crecer un 20% la podemos representar como $1,2P_o$.

Sustituyendo en la ecuación:

$P(8)=1.2P_o=P_o\times e^{k(8)}$

nos quedamos con esto:

$1.2P_o=P_o\times e^{k(8)}$

dividimos de ambos lados entre p:

$1.2= e^{k(8)}$

aplicamos logaritmo natural de ambos lados para eliminar el exponencial del lado derecho:

$ln|1.2|=ln| e^{k(8)}|\\ln|1.2|=8k$

dividimos entre 8:

$\frac{ln|1.2|}{8} =k$

Y con esto hemos encontrado el valor de la tasa relativa de crecimiento.

¡Saludos!

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