Question

Ayuda con la integral, doy coronita

Answer 1

Esta integral se realiza por sustitución.

Primero hay que transformar la expresión del denominador.

$\sqrt{x^2+4x+5}\\=\sqrt{x^2+4x+4+1}\\= \sqrt{(x+2)^2+1)}$

Por lo tanto la integral nos quedaría:

$\int \frac{dx}{\sqrt{(x+2)\\^2+1} }$

Aplicamos sustitución con $u = x+2$

Calculamos dx, por lo cual hay que derivar u

$u = x+2\\\frac{du}{dx}=1\\du=dx$

Entonces la integral nos quedaría:

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2+1} }du$

Usando la regla de integración:

$\int} \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2} }dt = \ln (\left|\sqrt{t^2+a^2}+t\right|)$

Por lo tanto.

$\int\frac{1}{\sqrt{u^2+1} }du =\ln \left|\sqrt{u^2+1}+u\right|$

Ahora volvemos a reemplazar $u=x+2$

$\ln \left|\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}+x+2\right|\\=\ln \left|\sqrt{x^2+4x+5}+x+2\right|$

No olvidar agregar la constante de integración, por lo cual quedaría como:

$\ln \left|\sqrt{x^2+4x+5}+x+2\right|+C$