Question

el mejor saltador del reino animal es el puma que puede saltar a una altura de 12 pies cuando despega del suelo con un ángulo de 45°, con que velocidad debe de despegar del suelo para lograr alcanzar esa altura?, cuánto tiempo dura en el aire?, cuál es la distancia horizontal que logra saltar?​

Answer 1

La velocidad inicial del puma es de √1536 pies/s, en forma decimal es de aproximadamente 39,19 pies/s

El tiempo de vuelo es de √3 segundos, expresado en forma decimal es de aproximadamente 1,73 segundos

El alcance o distancia horizontal es de 48 pies

Se trata de un problema de movimiento parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución

Hallando la velocidad inicial

$\large\bold {V_{0} }$

La ecuación de la altura máxima que alcanza un proyectil esta dada por:

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen^{2} \ \theta }{ 2g } }}}$

Donde

$\bold { V_{0} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial } }}$

$\bold { H_{max} \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil } }}$

$\bold { g \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad } }}$

Donde despejaremos la velocidad inicial para hallar su valor

Resultando

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \frac{2\ . \ g \ . \ H_{max} \ \ }{sen^{2} \ \theta } }}}$

$\textsf{Donde se toma a la gravedad como } \ \ \ \bold{ g= 32\ pies /s^{2} }$

$\large \textsf{Reemplazamos } } }}$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \frac{2\ . \ 32 \ . \ 12 }{sen^{2} \ 45 } }}}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 45\° es } \bold {\frac{ \sqrt{2} } {2 } }}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \left( \frac{768 }{\left(\frac { \sqrt{2} }{2}\right) }\right) }}}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \left( \frac{768 }{\left(\frac { 2 }{2^{2} }\right) }\right) }}}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \left( \frac{768 }{\left(\frac { 2 }{4 }\right) }\right) }}}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= \left( \frac{768 }{\left(\frac { 1 }{2 }\right) }\right) }}}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= ( 768 \ . \ 2) }}}$

$\boxed {\bold { ( V _{0})^{2}= 1536 }}}$

$\large\boxed {\bold { V _{0}= \sqrt{1536} \ pies/s }}}$

$\boxed {\bold { V _{0}=39,1918... , -39,1918.... }}}$

Donde se toma la solución positiva

$\boxed {\bold { V _{0}=39,19 \ pies/s }}}$

Hallando el tiempo de vuelo

La ecuación para el tiempo de vuelo de un proyectil esta dada por:

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{2\ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}}$

$\large \textsf{Reemplazamos } } }}$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{2\ \sqrt{1536} \ . \ sen \ \ 45 }{ 32 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{2\ \sqrt{1536} \ . \ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ 32 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{2 \left(2\ \sqrt{1536} \ . \ \frac{ \sqrt{2} }{2}\right) }{ 2 \ . \ 16 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{\ \sqrt{1536} \ . \ \frac{ \sqrt{2} }{2} }{ \ 16 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{ \ \frac{ \sqrt{1536 \ . \ 2 } }{2} }{ \ 16 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{ \ \frac{ \sqrt{3072 } }{2} }{ \ 16 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} =\frac{ \ \frac{ 32 \sqrt{3 } }{2} }{ \ 16 } }}}$

$\boxed {\bold { t_{VUELO} = \frac{16 \sqrt{3} }{16} }{ }}}$

$\large\boxed {\bold { t_{VUELO} = \sqrt{3} \ segundos }}}$

Expresado en decimal

$\boxed {\bold { t_{VUELO} = 1,73 \ segundos }}}$

Hallando el alcance horizontal

La ecuación de alcance máximo de un proyectil esta dada por:

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}}$    

$\large \textsf{Reemplazamos } } }}$

$\textsf{Quitamos las unidades para faciltaci\'on }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( \sqrt{1536} )^{2} \ . \ sen (2 \ \. \ 45) }{ 32 } }}}$          

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1536 \ . \ sen (90) }{ 32 } }}}$    

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1536 \ . \ 1 }{ 32 } }}}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{1536 }{ 32 } }}}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} = 48\ pies }}}$        

Dedicado a Los Pumas, la selección argentina de rugby