Question

Porfavor ayudenme!!! En una progresión aritmética el segundo y tercer termino suman 19 mientras que el quinto y el séptimo suman 40 ¿cual sera el noveno termino ? a)21 b)24 c)29 d)26

Answer 1

La clave del ejercicio está en saber la diferencia (d) entre términos consecutivos y para ello tendremos que recurrir a las ecuaciones.

Segundo y tercero suman 19. Represento esos términos:
2º término = a₂
3º término = a₃

Tenemos que... a₂ + a₃ = 19 ... despejando ... a₂ = 19 - a₃ ... y sabemos que al ser consecutivos se cumplirá que   a₃ - a₂ = d ... sustituyendo a₂ por su equivalente de arriba... a₃ - (19-a₃) = d ... reduciendo...
a₃ - 19 + a₃ = d ---> 2a₃ -19 = d  <--- aquí la 1ª ecuación del sistema.

Por otra parte...
el quinto término se calculará a partir de sumar la diferencia (d) dos veces al término a₃ ya que a₃+d = a₄ ... y ... a₄+d = a₅
Por tanto se puede establecer que a₅ = a₃+2d

Por el mismo razonamiento, el séptimo término a₇ se puede representar como....... a₃+4d ... por tanto, si según el texto ocurre que  a₅+a₇ = 40

... sustituyendo por lo anterior tenemos que...

a₃+2d + a₃+4d = 40 ... reduciendo términos semejantes...
2a₃ + 6d = 40  <--- aquí la 2ª ecuación del sistema

Sustituyo el valor de "d" de la primera en la segunda...

2a₃ + 6·(2a₃-19) = 40 ----> 2a₃ +12a₃ -114 = 40 ---> 14a₃ = 154

a₃ = 154/14 = 11 es el valor de este término.

Si sumado a a₂ nos daba 19... resulta que ... a₂ = 19 - 11 = 8
La diferencia (d) será pues: 11-8 = 3

Obtendré el noveno término a₉  a partir de hallar el primero  a₁ restando 3 a  a₂ ... es decir... a₁ = 8-3 = 5

Y recurriendo a la fórmula del término general...
an = a₁ + (n-1) · d ... sustituyo valores...
a₉ = 5 + (9-1) · 3 = 5 + 24 = 29 es la respuesta, opción c)

Saludos.