Question

Dado el conjunto S = {(x, y, 0)/ x, y Є R}. Sea el espacio vectorial V definido en R3. Demostrar que S es un subespacio de V.

Answer 1

Para que S sea un subespacio de V, entonces V debe ser capaz de contener al menos a S, esto es:

V = {(x, y, z) | x, y, z Є R}

donde z es cualquier número real, o al menos z = 0, si cualquiera de esas condiciones se cumple, entonces S es un subespacio de V.

Tomamos dos elementos de V:
v1 = (x1, y1, z1)
v2 = (x2, y2, z2)
su suma debe estar también en V
v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 +z2)

Si zi = -z2, entonces la suma pertenece a S, pero en cualquier otro caso pertenece a V, por lo tanto, S es un subespacio de V.